Номер 62, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 62, страница 24.

62 Решите неравенство:

а) $\frac{2 - x}{6} + \frac{x + 7}{15} < \frac{8 - x}{2}$;

б) $\frac{2x + 1}{18} - \frac{x + 2}{9} < \frac{x - 6}{6}$;

в) $\frac{19}{4} - \frac{5x + 16}{3} \le \frac{3x + 1}{4} - 2x$;

г) $\frac{x - 3}{8} + \frac{3x - 37}{2} \le \frac{25 - x}{4} + 3$;

д) $\frac{3 - 4x}{7} + \frac{6x - 5}{5} \ge \frac{10x - 9}{14} - \frac{5x - 9}{10}$;

е) $\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 4}{3} + \frac{x + 5}{5} < x - 4$.

а) Исходное неравенство: $\frac{2-x}{6} + \frac{x+7}{15} < \frac{8-x}{2}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6, 15 и 2. НОК(6, 15, 2) = 30.
$30 \cdot \left(\frac{2-x}{6} + \frac{x+7}{15}\right) < 30 \cdot \frac{8-x}{2}$
$5(2-x) + 2(x+7) < 15(8-x)$
Раскроем скобки:
$10 - 5x + 2x + 14 < 120 - 15x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$24 - 3x < 120 - 15x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-3x + 15x < 120 - 24$
$12x < 96$
Разделим обе части на 12:
$x < 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8)$.

б) Исходное неравенство: $\frac{2x+1}{18} - \frac{x+2}{9} < \frac{x-6}{6}$.
НОК знаменателей 18, 9 и 6 равно 18. Умножим обе части на 18:
$18 \cdot \left(\frac{2x+1}{18} - \frac{x+2}{9}\right) < 18 \cdot \frac{x-6}{6}$
$1(2x+1) - 2(x+2) < 3(x-6)$
Раскроем скобки:
$2x + 1 - 2x - 4 < 3x - 18$
Приведем подобные слагаемые:
$-3 < 3x - 18$
Перенесем -18 в левую часть:
$18 - 3 < 3x$
$15 < 3x$
Разделим на 3 (знак неравенства сохраняется):
$5 < x$
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

в) Исходное неравенство: $\frac{19}{4} - \frac{5x+16}{3} \leq \frac{3x+1}{4} - 2x$.
НОК знаменателей 4 и 3 равно 12. Умножим обе части на 12:
$12 \cdot \left(\frac{19}{4} - \frac{5x+16}{3}\right) \leq 12 \cdot \left(\frac{3x+1}{4} - 2x\right)$
$3 \cdot 19 - 4(5x+16) \leq 3(3x+1) - 12 \cdot 2x$
Раскроем скобки:
$57 - 20x - 64 \leq 9x + 3 - 24x$
Приведем подобные слагаемые с обеих сторон:
$-7 - 20x \leq -15x + 3$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$-7 - 3 \leq -15x + 20x$
$-10 \leq 5x$
Разделим на 5:
$-2 \leq x$
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\frac{x-3}{8} + \frac{3x-37}{2} \leq \frac{25-x}{4} + 3$.
НОК знаменателей 8, 2 и 4 равно 8. Умножим обе части на 8:
$8 \cdot \left(\frac{x-3}{8} + \frac{3x-37}{2}\right) \leq 8 \cdot \left(\frac{25-x}{4} + 3\right)$
$1(x-3) + 4(3x-37) \leq 2(25-x) + 8 \cdot 3$
Раскроем скобки:
$x - 3 + 12x - 148 \leq 50 - 2x + 24$
Приведем подобные слагаемые:
$13x - 151 \leq 74 - 2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$13x + 2x \leq 74 + 151$
$15x \leq 225$
Разделим на 15:
$x \leq 15$
Ответ: $x \in (-\infty; 15]$.

д) Исходное неравенство: $\frac{3-4x}{7} + \frac{6x-5}{5} \geq \frac{10x-9}{14} - \frac{5x-9}{10}$.
НОК знаменателей 7, 5, 14 и 10 равно 70. Умножим обе части на 70:
$70 \cdot \left(\frac{3-4x}{7} + \frac{6x-5}{5}\right) \geq 70 \cdot \left(\frac{10x-9}{14} - \frac{5x-9}{10}\right)$
$10(3-4x) + 14(6x-5) \geq 5(10x-9) - 7(5x-9)$
Раскроем скобки:
$30 - 40x + 84x - 70 \geq 50x - 45 - 35x + 63$
Приведем подобные слагаемые:
$44x - 40 \geq 15x + 18$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$44x - 15x \geq 18 + 40$
$29x \geq 58$
Разделим на 29:
$x \geq 2$
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

е) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{2} - \frac{x+4}{3} + \frac{x+5}{5} < x-4$.
НОК знаменателей 2, 3 и 5 равно 30. Умножим обе части на 30:
$30 \cdot \left(\frac{x-1}{2} - \frac{x+4}{3} + \frac{x+5}{5}\right) < 30 \cdot (x-4)$
$15(x-1) - 10(x+4) + 6(x+5) < 30x - 120$
Раскроем скобки:
$15x - 15 - 10x - 40 + 6x + 30 < 30x - 120$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$11x - 25 < 30x - 120$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$120 - 25 < 30x - 11x$
$95 < 19x$
Разделим на 19:
$5 < x$
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.