Номер 59, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 59, страница 24.

Решите неравенство (№ 56–60):

59 а) $12 - x < \frac{5(x - 1)}{6}$;

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3$;

в) $\frac{3x + 6}{5} - \frac{3x - 8}{4} \ge 2$;

г) $\frac{1 + 8x}{11} \le 10 - \frac{3x + 2}{2}$;

д) $\frac{x - 4}{3} - 2 < \frac{x}{2}$;

е) $10x - \frac{9(3x + 7)}{4} > 33$.

а) $12 - x < \frac{5(x - 1)}{6}$
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 6:
$6 \cdot (12 - x) < 5(x - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях:
$72 - 6x < 5x - 5$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-6x$ вправо и $-5$ влево, меняя их знаки:
$72 + 5 < 5x + 6x$
Приведем подобные слагаемые:
$77 < 11x$
Разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{77}{11} < x$
$7 < x$
Ответ: $x > 7$.

б) $\frac{3(4x + 3)}{5} > 4x - 3$
Умножим обе части неравенства на 5:
$3(4x + 3) > 5(4x - 3)$
Раскроем скобки:
$12x + 9 > 20x - 15$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$9 + 15 > 20x - 12x$
Приведем подобные слагаемые:
$24 > 8x$
Разделим обе части на 8:
$3 > x$
Ответ: $x < 3$.

в) $\frac{3x + 6}{5} - \frac{3x - 8}{4} \ge 2$
Найдем наименьший общий знаменатель для 5 и 4, который равен 20. Умножим обе части неравенства на 20:
$20 \cdot \frac{3x + 6}{5} - 20 \cdot \frac{3x - 8}{4} \ge 20 \cdot 2$
$4(3x + 6) - 5(3x - 8) \ge 40$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй дробью:
$12x + 24 - 15x + 40 \ge 40$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-3x + 64 \ge 40$
Перенесем 64 в правую часть:
$-3x \ge 40 - 64$
$-3x \ge -24$
Разделим обе части на -3, при этом изменив знак неравенства на противоположный:
$x \le \frac{-24}{-3}$
$x \le 8$
Ответ: $x \le 8$.

г) $\frac{1 + 8x}{11} \le 10 - \frac{3x + 2}{2}$
Наименьший общий знаменатель для 11 и 2 равен 22. Умножим обе части на 22:
$22 \cdot \frac{1 + 8x}{11} \le 22 \cdot 10 - 22 \cdot \frac{3x + 2}{2}$
$2(1 + 8x) \le 220 - 11(3x + 2)$
Раскроем скобки:
$2 + 16x \le 220 - 33x - 22$
Упростим правую часть:
$2 + 16x \le 198 - 33x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$16x + 33x \le 198 - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$49x \le 196$
Разделим обе части на 49:
$x \le \frac{196}{49}$
$x \le 4$
Ответ: $x \le 4$.

д) $\frac{x - 4}{3} - 2 < \frac{x}{2}$
Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 равен 6. Умножим обе части на 6:
$6 \cdot \frac{x - 4}{3} - 6 \cdot 2 < 6 \cdot \frac{x}{2}$
$2(x - 4) - 12 < 3x$
Раскроем скобки:
$2x - 8 - 12 < 3x$
Упростим левую часть:
$2x - 20 < 3x$
Перенесем $2x$ в правую часть:
$-20 < 3x - 2x$
$-20 < x$
Ответ: $x > -20$.

е) $10x - \frac{9(3x + 7)}{4} > 33$
Умножим обе части неравенства на 4:
$4 \cdot 10x - 4 \cdot \frac{9(3x + 7)}{4} > 4 \cdot 33$
$40x - 9(3x + 7) > 132$
Раскроем скобки:
$40x - 27x - 63 > 132$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$13x - 63 > 132$
Перенесем -63 в правую часть:
$13x > 132 + 63$
$13x > 195$
Разделим обе части на 13:
$x > \frac{195}{13}$
$x > 15$
Ответ: $x > 15$.