Номер 52, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 52, страница 23.

52 Объясните, как из первого неравенства получено второе, ему равносильное:

а) $x + 3 < 7; x < 4;$

б) $3x \leq 15; x \leq 5;$

в) $-x \leq -7; x \geq 7;$

г) $-2x > 6; x < -3;$

д) $\frac{x}{3} > -1; x > -3;$

е) $\frac{x - 2}{4} < 4; x < 18.$

а) Чтобы из неравенства $x + 3 < 7$ получить равносильное ему неравенство $x < 4$, нужно перенести слагаемое 3 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный. Это равносильно вычитанию числа 3 из обеих частей неравенства. Знак неравенства при этом не изменяется.

$x + 3 - 3 < 7 - 3$

$x < 4$

Ответ: $x < 4$

б) Чтобы из неравенства $3x \le 15$ получить равносильное ему неравенство $x \le 5$, необходимо разделить обе части неравенства на положительное число 3. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется.

$\frac{3x}{3} \le \frac{15}{3}$

$x \le 5$

Ответ: $x \le 5$

в) Чтобы из неравенства $-x \le -7$ получить равносильное ему неравенство $x \ge 7$, необходимо умножить (или разделить) обе части неравенства на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства $\le$ меняется на противоположный, то есть на $\ge$.

$(-x) \cdot (-1) \ge (-7) \cdot (-1)$

$x \ge 7$

Ответ: $x \ge 7$

г) Чтобы из неравенства $-2x > 6$ получить равносильное ему неравенство $x < -3$, необходимо разделить обе части неравенства на отрицательное число -2. При делении на отрицательное число знак неравенства $>$ меняется на противоположный, то есть на $<$.

$\frac{-2x}{-2} < \frac{6}{-2}$

$x < -3$

Ответ: $x < -3$

д) Чтобы из неравенства $\frac{x}{3} > -1$ получить равносильное ему неравенство $x > -3$, необходимо умножить обе части неравенства на положительное число 3. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

$\frac{x}{3} \cdot 3 > -1 \cdot 3$

$x > -3$

Ответ: $x > -3$

е) Чтобы из неравенства $\frac{x - 2}{4} < 4$ получить равносильное ему неравенство $x < 18$, необходимо выполнить два последовательных равносильных преобразования. Сначала умножим обе части неравенства на положительное число 4, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\frac{x - 2}{4}) \cdot 4 < 4 \cdot 4$

$x - 2 < 16$

Затем, чтобы выделить $x$, прибавим к обеим частям полученного неравенства число 2. Знак неравенства также не изменится.

$x - 2 + 2 < 16 + 2$

$x < 18$

Ответ: $x < 18$