Номер 55, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 55, страница 23.

55. Решите неравенство; изобразите множество его решений на координатной прямой:

а) $5x + 3 \leq 8;$

б) $2x - 3 < 9;$

в) $6 - 2x < -4;$

г) $-12x - 4 > 12;$

д) $2 + \frac{x}{2} \leq -1;$

е) $\frac{x}{3} - 1 > -5;$

ж) $-\frac{1}{3}x + 7 < 3;$

з) $1 \geq 1 - \frac{x}{8}.$

а) $5x + 3 \le 8$

Для решения неравенства перенесем слагаемое 3 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$5x \le 8 - 3$

$5x \le 5$

Теперь разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le 1$

Множество решений на координатной прямой представляет собой числовой луч, начинающийся в точке 1 и направленный влево. Точка 1 включается в решение (закрашенная точка), так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$

б) $2x - 3 < 9$

Перенесем -3 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$2x < 9 + 3$

$2x < 12$

Разделим обе части на 2:

$x < 6$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий влево от точки 6. Точка 6 не включается в решение (выколотая точка), так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-\infty, 6)$

в) $6 - 2x < -4$

Перенесем 6 в правую часть:

$-2x < -4 - 6$

$-2x < -10$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-10}{-2}$

$x > 5$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий вправо от точки 5. Точка 5 выколота, так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$

г) $-12x - 4 > 12$

Перенесем -4 в правую часть:

$-12x > 12 + 4$

$-12x > 16$

Разделим обе части на -12 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{16}{-12}$

Сократим дробь:

$x < -\frac{4}{3}$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий влево от точки $-\frac{4}{3}$. Точка $-\frac{4}{3}$ выколота.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3)$

д) $2 + \frac{x}{2} \le -1$

Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{x}{2} \le -1 - 2$

$\frac{x}{2} \le -3$

Умножим обе части на 2 (знак неравенства не меняется):

$x \le -6$

Множество решений на координатной прямой — это числовой луч, идущий влево от точки -6. Точка -6 закрашена.

Ответ: $x \in (-\infty, -6]$

е) $\frac{x}{3} - 1 > -5$

Перенесем -1 в правую часть:

$\frac{x}{3} > -5 + 1$

$\frac{x}{3} > -4$

Умножим обе части на 3:

$x > -12$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий вправо от точки -12. Точка -12 выколота.

Ответ: $x \in (-12, +\infty)$

ж) $-\frac{1}{3}x + 7 < 3$

Перенесем 7 в правую часть:

$-\frac{1}{3}x < 3 - 7$

$-\frac{1}{3}x < -4$

Умножим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > (-4) \cdot (-3)$

$x > 12$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий вправо от точки 12. Точка 12 выколота.

Ответ: $x \in (12, +\infty)$

з) $1 \ge 1 - \frac{x}{8}$

Перенесем 1 из правой части в левую:

$1 - 1 \ge -\frac{x}{8}$

$0 \ge -\frac{x}{8}$

Чтобы избавиться от знака минус в правой части, можно умножить обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$0 \le \frac{x}{8}$

Теперь умножим обе части на 8:

$0 \le x$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Множество решений на координатной прямой — это числовой луч, идущий вправо от точки 0. Точка 0 закрашена.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$