Номер 51, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 51, страница 23.

51. Подберите какие-нибудь два числа, являющиеся решениями данного неравенства, и два числа, не являющиеся его решениями:
а) $x < 5x$;
б) $\frac{1}{y} > y$;
в) $a > -a^2$;
г) $z \le z^2$.

a) $x < 5x$

Для того чтобы найти решения неравенства, преобразуем его. Перенесем $x$ в правую часть:

$0 < 5x - x$

$0 < 4x$

Разделим обе части на 4 (знак неравенства не изменится):

$0 < x$ или $x > 0$

Таким образом, решением неравенства являются все положительные числа.

Числа, являющиеся решениями (любые $x > 0$):

1. Возьмем $x = 1$. Проверяем: $1 < 5 \cdot 1$, что равносильно $1 < 5$. Неравенство верное.

2. Возьмем $x = 10$. Проверяем: $10 < 5 \cdot 10$, что равносильно $10 < 50$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями (любые $x \le 0$):

1. Возьмем $x = 0$. Проверяем: $0 < 5 \cdot 0$, что равносильно $0 < 0$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $x = -2$. Проверяем: $-2 < 5 \cdot (-2)$, что равносильно $-2 < -10$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 1 и 10; не являются решениями, например, числа 0 и -2.

б) $\frac{1}{y} > y$

Для решения этого неравенства необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака $y$. Заметим, что $y \neq 0$.

Случай 1: $y > 0$. В этом случае можно умножить обе части неравенства на $y$, сохранив знак неравенства:

$1 > y^2 \implies y^2 < 1$

Решением неравенства $y^2 < 1$ является интервал $-1 < y < 1$. Учитывая условие $y > 0$, получаем решение для этого случая: $0 < y < 1$.

Случай 2: $y < 0$. При умножении обеих частей на отрицательное число $y$, знак неравенства меняется на противоположный:

$1 < y^2 \implies y^2 > 1$

Решением неравенства $y^2 > 1$ является объединение интервалов $y < -1$ и $y > 1$. Учитывая условие $y < 0$, получаем решение для этого случая: $y < -1$.

Общее множество решений неравенства: $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Числа, являющиеся решениями:

1. Возьмем $y = 0.5$ (из интервала $(0, 1)$). Проверяем: $\frac{1}{0.5} > 0.5$, что равносильно $2 > 0.5$. Неравенство верное.

2. Возьмем $y = -2$ (из интервала $(-\infty, -1)$). Проверяем: $\frac{1}{-2} > -2$, что равносильно $-0.5 > -2$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями:

1. Возьмем $y = 1$. Проверяем: $\frac{1}{1} > 1$, что равносильно $1 > 1$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $y = 2$. Проверяем: $\frac{1}{2} > 2$, что равносильно $0.5 > 2$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 0.5 и -2; не являются решениями, например, числа 1 и 2.

в) $a > -a^2$

Заметим, что $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), поэтому $-a^2$ всегда неположительно ($-a^2 \le 0$).

Неравенство $a > -a^2$ будет верным для любого положительного числа $a$, так как любое положительное число больше любого неположительного.

Рассмотрим случай, когда $a$ - отрицательное число. Перенесем все члены в левую часть:

$a + a^2 > 0 \implies a(1+a) > 0$

Произведение двух сомножителей положительно, когда они оба положительны или оба отрицательны. Так как $a < 0$, то для выполнения неравенства второй сомножитель $(1+a)$ также должен быть отрицательным: $1+a < 0 \implies a < -1$.

Таким образом, решением неравенства является объединение $a > 0$ и $a < -1$.

Числа, являющиеся решениями:

1. Возьмем $a = 5$. Проверяем: $5 > -5^2$, что равносильно $5 > -25$. Неравенство верное.

2. Возьмем $a = -3$. Проверяем: $-3 > -(-3)^2$, что равносильно $-3 > -9$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями (числа из отрезка $[-1, 0]$):

1. Возьмем $a = 0$. Проверяем: $0 > -0^2$, что равносильно $0 > 0$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $a = -0.5$. Проверяем: $-0.5 > -(-0.5)^2$, что равносильно $-0.5 > -0.25$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 5 и -3; не являются решениями, например, числа 0 и -0.5.

г) $z \le z^2$

Перенесем $z$ в правую часть:

$0 \le z^2 - z$

$z^2 - z \ge 0$

Вынесем $z$ за скобки:

$z(z-1) \ge 0$

Произведение двух сомножителей неотрицательно, если они оба имеют одинаковый знак или один из них равен нулю.

Случай 1: Оба сомножителя неотрицательны. $z \ge 0$ и $z-1 \ge 0 \implies z \ge 1$. Это дает решение $z \ge 1$.

Случай 2: Оба сомножителя неположительны. $z \le 0$ и $z-1 \le 0 \implies z \le 1$. Пересечение этих условий дает $z \le 0$.

Общее множество решений: $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.

Числа, являющиеся решениями:

1. Возьмем $z = 2$ (из промежутка $[1, \infty)$). Проверяем: $2 \le 2^2$, что равносильно $2 \le 4$. Неравенство верное.

2. Возьмем $z = -1$ (из промежутка $(-\infty, 0]$). Проверяем: $-1 \le (-1)^2$, что равносильно $-1 \le 1$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями (числа из интервала $(0, 1)$):

1. Возьмем $z = 0.5$. Проверяем: $0.5 \le (0.5)^2$, что равносильно $0.5 \le 0.25$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $z = 0.9$. Проверяем: $0.9 \le (0.9)^2$, что равносильно $0.9 \le 0.81$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 2 и -1; не являются решениями, например, числа 0.5 и 0.9.