Номер 56, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 56, страница 23.

Решите неравенство (№ 56–60):

56 а) $3y + 7 \le 1 - 5y$;

б) $5 - 4x > 2x - 4$;

в) $5 - 6y \ge 1 - 2y$;

г) $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \ge x + \frac{1}{4}$;

д) $-\frac{x}{4} - 3 < \frac{x}{8} - 1$;

е) $9 - y > 9 + \frac{y}{2}$;

ж) $4x + 1 < 2x - 3$;

з) $\frac{x}{2} + \frac{1}{6} \le \frac{2}{3} - x$;

и) $5y - 4 < 2 + y$.

а) $3y + 7 \le 1 - 5y$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а свободные члены - в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:
$3y + 5y \le 1 - 7$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$8y \le -6$
Разделим обе части неравенства на положительное число 8, при этом знак неравенства не меняется:
$y \le -\frac{6}{8}$
Сократим дробь:
$y \le -\frac{3}{4}$
Ответ: $y \in (-\infty; -3/4]$

б) $5 - 4x > 2x - 4$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую, меняя их знаки:
$5 + 4 > 2x + 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$9 > 6x$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства сохраняется.
$\frac{9}{6} > x$
Сократим дробь и запишем неравенство в более привычном виде, поменяв части местами и изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{3}{2}$
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5)$

в) $5 - 6y \ge 1 - 2y$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$5 - 1 \ge 6y - 2y$
Приведем подобные слагаемые:
$4 \ge 4y$
Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется.
$1 \ge y$
Запишем в привычном виде:
$y \le 1$
Ответ: $y \in (-\infty; 1]$

г) $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \ge x + \frac{1}{4}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 4:
$4 \cdot (\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}) \ge 4 \cdot (x + \frac{1}{4})$
$4 \cdot \frac{3}{4}x - 4 \cdot \frac{1}{2} \ge 4x + 4 \cdot \frac{1}{4}$
$3x - 2 \ge 4x + 1$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$-2 - 1 \ge 4x - 3x$
$-3 \ge x$
Запишем в привычном виде:
$x \le -3$
Ответ: $x \in (-\infty; -3]$

д) $-\frac{x}{4} - 3 < \frac{x}{8} - 1$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 8:
$8 \cdot (-\frac{x}{4} - 3) < 8 \cdot (\frac{x}{8} - 1)$
$8 \cdot (-\frac{x}{4}) - 8 \cdot 3 < 8 \cdot \frac{x}{8} - 8 \cdot 1$
$-2x - 24 < x - 8$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$-24 + 8 < x + 2x$
$-16 < 3x$
Разделим обе части на 3:
$-\frac{16}{3} < x$
Запишем в привычном виде:
$x > -\frac{16}{3}$
Ответ: $x \in (-16/3; +\infty)$

е) $9 - y > 9 + \frac{y}{2}$
Вычтем 9 из обеих частей неравенства:
$-y > \frac{y}{2}$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$-2y > y$
Перенесем слагаемое из правой части в левую:
$-2y - y > 0$
$-3y > 0$
Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$y < 0$
Ответ: $y \in (-\infty; 0)$

ж) $4x + 1 < 2x - 3$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$4x - 2x < -3 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$2x < -4$
Разделим обе части на 2:
$x < -2$
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

з) $\frac{x}{2} + \frac{1}{6} \le \frac{2}{3} - x$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{1}{6}) \le 6 \cdot (\frac{2}{3} - x)$
$3x + 1 \le 4 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$3x + 6x \le 4 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$9x \le 3$
Разделим обе части на 9:
$x \le \frac{3}{9}$
Сократим дробь:
$x \le \frac{1}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; 1/3]$

и) $5y - 4 < 2 + y$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$5y - y < 2 + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$4y < 6$
Разделим обе части на 4:
$y < \frac{6}{4}$
Сократим дробь:
$y < \frac{3}{2}$
Ответ: $y \in (-\infty; 1.5)$