Номер 60, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 60, страница 24.

60 Решите неравенство (№ 56–60):

а) $8 - 6(x - 5) \geq 5(2x - 7) - 7;$

б) $2x + 2(6x - 8) < 9(x + 4);$

в) $7(1 - x) + 15x \leq -2(x - 5) - 1;$

г) $2(x - 4) - (x - 5) \leq 1 - 7(2 - x).$

а) $8 - 6(x - 5) \ge 5(2x - 7) - 7$

Для решения неравенства сначала раскроем скобки в обеих его частях:

$8 - 6 \cdot x - 6 \cdot (-5) \ge 5 \cdot 2x - 5 \cdot 7 - 7$

$8 - 6x + 30 \ge 10x - 35 - 7$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$(8 + 30) - 6x \ge 10x - (35 + 7)$

$38 - 6x \ge 10x - 42$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну часть, а свободные члены — в другую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$38 + 42 \ge 10x + 6x$

Снова приведем подобные слагаемые:

$80 \ge 16x$

Для удобства прочтения поменяем части неравенства местами, не забыв изменить знак неравенства на противоположный:

$16x \le 80$

Разделим обе части неравенства на положительное число 16. Знак неравенства при этом не меняется:

$x \le \frac{80}{16}$

$x \le 5$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

б) $2x + 2(6x - 8) < 9(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2x + 2 \cdot 6x - 2 \cdot 8 < 9 \cdot x + 9 \cdot 4$

$2x + 12x - 16 < 9x + 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$14x - 16 < 9x + 36$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$14x - 9x < 36 + 16$

Упростим обе части:

$5x < 52$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется):

$x < \frac{52}{5}$

Можно представить ответ в виде десятичной дроби:

$x < 10.4$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 10.4)$.

в) $7(1 - x) + 15x \le -2(x - 5) - 1$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$7 \cdot 1 - 7 \cdot x + 15x \le -2 \cdot x - 2 \cdot (-5) - 1$

$7 - 7x + 15x \le -2x + 10 - 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$7 + 8x \le -2x + 9$

Перенесем слагаемые с переменной влево, а числа вправо:

$8x + 2x \le 9 - 7$

Упростим:

$10x \le 2$

Разделим обе части на 10:

$x \le \frac{2}{10}$

$x \le \frac{1}{5}$ или $x \le 0.2$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.2]$.

г) $2(x - 4) - (x - 5) \le 1 - 7(2 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. Обратим внимание на знак минус перед скобками, который меняет знаки слагаемых внутри них:

$2x - 8 - x + 5 \le 1 - (14 - 7x)$

$2x - 8 - x + 5 \le 1 - 14 + 7x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(2x - x) + (-8 + 5) \le (1 - 14) + 7x$

$x - 3 \le -13 + 7x$

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-3 + 13 \le 7x - x$

Упростим обе части:

$10 \le 6x$

Поменяем части неравенства местами, изменив знак на противоположный:

$6x \ge 10$

Разделим обе части на 6:

$x \ge \frac{10}{6}$

Сократим дробь:

$x \ge \frac{5}{3}$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [\frac{5}{3}; +\infty)$.