Номер 53, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 53, страница 23.

53. Составьте три неравенства, множеством решений которых является промежуток $(-5; +\infty)$.

Заданный промежуток $(-5; +\infty)$ соответствует всем значениям переменной $x$, удовлетворяющим строгому неравенству $x > -5$. Задача состоит в том, чтобы составить три различных неравенства, которые после алгебраических преобразований приводятся к этому виду.

Первое неравенство

Наиболее простой способ — это выполнить эквивалентное преобразование неравенства $x > -5$. Перенесем $-5$ в левую часть, изменив знак на противоположный.

Получим неравенство: $x + 5 > 0$.

Для проверки решим его:
$x + 5 > 0$
$x > -5$
Решение этого неравенства действительно является промежутком $(-5; +\infty)$.

Ответ: $x + 5 > 0$.

Второе неравенство

Составим более сложное неравенство, используя умножение на положительное число и сложение. Умножим обе части исходного неравенства $x > -5$ на $4$ (знак неравенства не изменится), а затем прибавим к обеим частям $1$.

$x > -5 \quad |\cdot 4 \implies 4x > -20$

$4x > -20 \quad |+1 \implies 4x + 1 > -19$

Получим неравенство: $4x + 1 > -19$.

Проверим его решение:
$4x + 1 > -19$
$4x > -19 - 1$
$4x > -20$
$x > \frac{-20}{4}$
$x > -5$
Множество решений — $(-5; +\infty)$.

Ответ: $4x + 1 > -19$.

Третье неравенство

Теперь составим неравенство, в котором коэффициент при переменной $x$ будет отрицательным. Для этого умножим обе части исходного неравенства $x > -5$ на отрицательное число, например на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с `>` на `<`).

$x > -5 \quad |\cdot (-2) \implies -2x < (-5) \cdot (-2)$

Получим неравенство: $-2x < 10$.

Проверим его решение:
$-2x < 10$
Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства с `<` на `>`:
$x > \frac{10}{-2}$
$x > -5$
Множество решений — $(-5; +\infty)$.

Ответ: $-2x < 10$.