Номер 49, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.3 Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 49, страница 19.

49 a) Докажите, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

б) Докажите, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

а) Докажите, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его периметр $P$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + CD + DA$. Диагонали четырёхугольника — это отрезки $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что $P > AC + BD$.

Для доказательства воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим треугольники, образованные сторонами и диагоналями четырёхугольника.

Применим неравенство треугольника к $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

$AB + BC > AC$

$AD + DC > AC$

Сложив эти два неравенства, получим:

$(AB + BC) + (AD + DC) > AC + AC$

$AB + BC + CD + DA > 2AC$

$P > 2AC$

Теперь применим неравенство треугольника к $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$:

$AB + AD > BD$

$BC + CD > BD$

Сложив эти два неравенства, получим:

$(AB + AD) + (BC + CD) > BD + BD$

$AB + BC + CD + DA > 2BD$

$P > 2BD$

Мы получили два неравенства: $P > 2AC$ и $P > 2BD$. Сложим их:

$P + P > 2AC + 2BD$

$2P > 2(AC + BD)$

Разделив обе части неравенства на 2, получаем:

$P > AC + BD$

Таким образом, доказано, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано. Для выпуклого четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $d_1, d_2$ справедливо неравенство $a+b+c+d > d_1+d_2$.

б) Докажите, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

Пусть дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Его периметр $P$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + CD + DE + EA$. Пятиугольник имеет пять диагоналей: $AC, BD, CE, DA$ и $EB$. Нам нужно доказать, что периметр $P$ больше полусуммы длин его диагоналей, то есть:

$P > \frac{AC + BD + CE + DA + EB}{2}$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$2P > AC + BD + CE + DA + EB$

Для доказательства снова воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим треугольники, у которых две стороны являются смежными сторонами пятиугольника, а третья сторона — его диагональю.

1. В треугольнике $ABC$: $AB + BC > AC$.

2. В треугольнике $BCD$: $BC + CD > BD$.

3. В треугольнике $CDE$: $CD + DE > CE$.

4. В треугольнике $DEA$: $DE + EA > DA$.

5. В треугольнике $EAB$: $EA + AB > EB$.

Теперь сложим все пять полученных неравенств:

$(AB + BC) + (BC + CD) + (CD + DE) + (DE + EA) + (EA + AB) > AC + BD + CE + DA + EB$

Сгруппируем слагаемые в левой части. Каждая сторона пятиугольника входит в сумму дважды:

$2AB + 2BC + 2CD + 2DE + 2EA > AC + BD + CE + DA + EB$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(AB + BC + CD + DE + EA) > AC + BD + CE + DA + EB$

Выражение в скобках — это периметр пятиугольника $P$. Таким образом, мы получаем:

$2P > AC + BD + CE + DA + EB$

Разделив обе части неравенства на 2, приходим к искомому результату:

$P > \frac{AC + BD + CE + DA + EB}{2}$

Таким образом, доказано, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано. Для выпуклого пятиугольника с периметром $P$ и суммой длин диагоналей $S_d$ справедливо неравенство $P > \frac{S_d}{2}$.