Номер 42, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.3 Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 42, страница 19.

42 Сравните число $a$ с нулём, если известно, что:

а) $a + 7 < b + 7$ и $b < -1$;

б) $\frac{1}{3}a > \frac{1}{3}b$ и $b > 50$;

в) $-6a < -6b$ и $b \geq 0$;

г) $2 - a < 2 - b$ и $b \geq 1$.

а) У нас есть два неравенства: $a + 7 < b + 7$ и $b < -1$.

Из первого неравенства $a + 7 < b + 7$, вычтем 7 из обеих частей. Знак неравенства при этом не изменится.

$a + 7 - 7 < b + 7 - 7$

$a < b$

Теперь мы знаем, что $a < b$ и $b < -1$. Используя свойство транзитивности для неравенств, мы можем объединить эти два неравенства:

$a < b < -1$

Из этого следует, что $a < -1$. Любое число, которое меньше -1, также меньше нуля. Следовательно, $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.

б) Даны неравенства: $\frac{1}{3}a > \frac{1}{3}b$ и $b > 50$.

Из первого неравенства $\frac{1}{3}a > \frac{1}{3}b$, умножим обе части на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$3 \cdot \frac{1}{3}a > 3 \cdot \frac{1}{3}b$

$a > b$

Теперь у нас есть два неравенства: $a > b$ и $b > 50$. Объединим их по свойству транзитивности:

$a > b > 50$

Отсюда следует, что $a > 50$. Любое число, которое больше 50, также больше нуля. Таким образом, $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

в) Даны условия: $-6a < -6b$ и $b \ge 0$.

Рассмотрим первое неравенство $-6a < -6b$. Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$\frac{-6a}{-6} > \frac{-6b}{-6}$

$a > b$

Теперь мы имеем систему неравенств: $a > b$ и $b \ge 0$. Объединив их, получаем:

$a > b \ge 0$

Это означает, что число $a$ больше числа $b$, которое в свою очередь больше или равно нулю. Следовательно, $a$ должно быть строго больше нуля ($a > 0$). Например, если $b=0$, то $a>0$. Если $b > 0$, то $a > b > 0$, что также означает $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

г) Даны неравенства: $2 - a < 2 - b$ и $b \ge 1$.

Из первого неравенства $2 - a < 2 - b$, вычтем 2 из обеих частей:

$2 - a - 2 < 2 - b - 2$

$-a < -b$

Теперь умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$(-1) \cdot (-a) > (-1) \cdot (-b)$

$a > b$

У нас есть два условия: $a > b$ и $b \ge 1$. Объединим их, используя свойство транзитивности:

$a > b \ge 1$

Отсюда следует, что $a > 1$. Любое число, которое больше 1, также больше нуля. Значит, $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.