Номер 43, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.3 Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 43, страница 19.

43 а) Какие из неравенств: $a + b > 20$; $a + b > 30$; $a + b > 18$ — следуют из условия $a > 5$ и $b > 15$?

б) Какие из неравенств: $ab > 150$; $ab > 100$; $ab > 200$ — следуют из условия $a > 10$ и $b > 15$?

а)

Нам даны два неравенства: $a > 5$ и $b > 15$. Согласно свойству сложения неравенств одинакового знака, мы можем почленно сложить левые и правые части этих неравенств. Это свойство гласит: если $x > y$ и $z > w$, то $x + z > y + w$.

Применим это свойство к нашим условиям: $a + b > 5 + 15$ $a + b > 20$

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств:

• $a + b > 20$: Это неравенство мы получили в результате сложения исходных неравенств. Следовательно, оно следует из условия.
• $a + b > 30$: Это неравенство не обязательно будет верным. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 6$ (что удовлетворяет условию $a > 5$) и $b = 16$ (что удовлетворяет условию $b > 15$). Тогда их сумма $a + b = 6 + 16 = 22$. Неравенство $22 > 30$ является ложным. Следовательно, это неравенство не следует из условия.
• $a + b > 18$: Мы уже установили, что $a + b > 20$. Поскольку любое число, которое больше 20, автоматически больше и 18 (так как $20 > 18$), это неравенство также является верным. Следовательно, оно следует из условия.

Ответ: из условия следуют неравенства $a + b > 20$ и $a + b > 18$.

б)

Нам даны два неравенства: $a > 10$ и $b > 15$. Так как $a$ больше 10, а $b$ больше 15, обе переменные $a$ и $b$ являются положительными числами. Согласно свойству умножения неравенств одинакового знака с положительными частями, мы можем почленно перемножить их. Это свойство гласит: если $x > y > 0$ и $z > w > 0$, то $xz > yw$.

Применим это свойство к нашим условиям: $a \cdot b > 10 \cdot 15$ $ab > 150$

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств:

• $ab > 150$: Это неравенство мы получили в результате умножения исходных неравенств. Следовательно, оно следует из условия.
• $ab > 100$: Мы установили, что произведение $ab$ всегда больше 150. Поскольку любое число, которое больше 150, автоматически больше и 100 (так как $150 > 100$), это неравенство также является верным. Следовательно, оно следует из условия.
• $ab > 200$: Это неравенство не обязательно будет верным. Приведем контрпример. Пусть $a = 11$ (удовлетворяет $a > 10$) и $b = 16$ (удовлетворяет $b > 15$). Тогда их произведение $ab = 11 \cdot 16 = 176$. Неравенство $176 > 200$ является ложным. Следовательно, это неравенство не следует из условия.

Ответ: из условия следуют неравенства $ab > 150$ и $ab > 100$.