Страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

41 Известно, что $\frac{5}{6}a < \frac{5}{6}b$. Верно ли неравенство:

а) $5a < 5b;$

б) $a > b;$

в) $-a < -b;$

г) $-2a > -2b;$

д) $\frac{6}{5}a > \frac{6}{5}b;$

е) $3 - a > 3 - b?$

Дано неравенство $\frac{5}{6}a < \frac{5}{6}b$. Чтобы с ним было удобнее работать, упростим его. Умножим обе части неравенства на положительное число $\frac{6}{5}$. При умножении на положительное число знак неравенства не меняется:

$(\frac{5}{6}a) \cdot \frac{6}{5} < (\frac{5}{6}b) \cdot \frac{6}{5}$

$a < b$

Теперь, основываясь на верном неравенстве $a < b$, проверим каждое из предложенных утверждений.

а) $5a < 5b$

Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число 5. Знак неравенства сохранится.

$a \cdot 5 < b \cdot 5$

$5a < 5b$

Следовательно, данное неравенство верно.

Ответ: верно.

б) $a > b$

Из исходного неравенства мы получили, что $a < b$. Неравенство $a > b$ противоречит этому выводу.

Следовательно, данное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

в) $-a < -b$

Умножим обе части неравенства $a < b$ на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$a \cdot (-1) > b \cdot (-1)$

$-a > -b$

Предложенное неравенство $-a < -b$ не соответствует полученному результату.

Следовательно, данное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

г) $-2a > -2b$

Умножим обе части неравенства $a < b$ на отрицательное число -2. Знак неравенства изменится на противоположный.

$a \cdot (-2) > b \cdot (-2)$

$-2a > -2b$

Полученное неравенство совпадает с данным.

Следовательно, данное неравенство верно.

Ответ: верно.

д) $\frac{6}{5}a > \frac{6}{5}b$

Умножим обе части неравенства $a < b$ на положительное число $\frac{6}{5}$. Знак неравенства не изменится.

$a \cdot \frac{6}{5} < b \cdot \frac{6}{5}$

$\frac{6}{5}a < \frac{6}{5}b$

Предложенное неравенство $\frac{6}{5}a > \frac{6}{5}b$ не соответствует полученному результату.

Следовательно, данное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

е) $3 - a > 3 - b$

Начнем с верного неравенства $a < b$. Сначала умножим обе части на -1, что приведет к изменению знака неравенства:

$-a > -b$

Теперь прибавим к обеим частям число 3. Прибавление числа не меняет знак неравенства.

$3 - a > 3 - b$

Полученное неравенство совпадает с данным.

Следовательно, данное неравенство верно.

Ответ: верно.

42 Сравните число $a$ с нулём, если известно, что:

а) $a + 7 < b + 7$ и $b < -1$;

б) $\frac{1}{3}a > \frac{1}{3}b$ и $b > 50$;

в) $-6a < -6b$ и $b \geq 0$;

г) $2 - a < 2 - b$ и $b \geq 1$.

а) У нас есть два неравенства: $a + 7 < b + 7$ и $b < -1$.

Из первого неравенства $a + 7 < b + 7$, вычтем 7 из обеих частей. Знак неравенства при этом не изменится.

$a + 7 - 7 < b + 7 - 7$

$a < b$

Теперь мы знаем, что $a < b$ и $b < -1$. Используя свойство транзитивности для неравенств, мы можем объединить эти два неравенства:

$a < b < -1$

Из этого следует, что $a < -1$. Любое число, которое меньше -1, также меньше нуля. Следовательно, $a < 0$.

Ответ: $a < 0$.

б) Даны неравенства: $\frac{1}{3}a > \frac{1}{3}b$ и $b > 50$.

Из первого неравенства $\frac{1}{3}a > \frac{1}{3}b$, умножим обе части на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$3 \cdot \frac{1}{3}a > 3 \cdot \frac{1}{3}b$

$a > b$

Теперь у нас есть два неравенства: $a > b$ и $b > 50$. Объединим их по свойству транзитивности:

$a > b > 50$

Отсюда следует, что $a > 50$. Любое число, которое больше 50, также больше нуля. Таким образом, $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

в) Даны условия: $-6a < -6b$ и $b \ge 0$.

Рассмотрим первое неравенство $-6a < -6b$. Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$\frac{-6a}{-6} > \frac{-6b}{-6}$

$a > b$

Теперь мы имеем систему неравенств: $a > b$ и $b \ge 0$. Объединив их, получаем:

$a > b \ge 0$

Это означает, что число $a$ больше числа $b$, которое в свою очередь больше или равно нулю. Следовательно, $a$ должно быть строго больше нуля ($a > 0$). Например, если $b=0$, то $a>0$. Если $b > 0$, то $a > b > 0$, что также означает $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

г) Даны неравенства: $2 - a < 2 - b$ и $b \ge 1$.

Из первого неравенства $2 - a < 2 - b$, вычтем 2 из обеих частей:

$2 - a - 2 < 2 - b - 2$

$-a < -b$

Теперь умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$(-1) \cdot (-a) > (-1) \cdot (-b)$

$a > b$

У нас есть два условия: $a > b$ и $b \ge 1$. Объединим их, используя свойство транзитивности:

$a > b \ge 1$

Отсюда следует, что $a > 1$. Любое число, которое больше 1, также больше нуля. Значит, $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

43 а) Какие из неравенств: $a + b > 20$; $a + b > 30$; $a + b > 18$ — следуют из условия $a > 5$ и $b > 15$?

б) Какие из неравенств: $ab > 150$; $ab > 100$; $ab > 200$ — следуют из условия $a > 10$ и $b > 15$?

а)

Нам даны два неравенства: $a > 5$ и $b > 15$. Согласно свойству сложения неравенств одинакового знака, мы можем почленно сложить левые и правые части этих неравенств. Это свойство гласит: если $x > y$ и $z > w$, то $x + z > y + w$.

Применим это свойство к нашим условиям: $a + b > 5 + 15$ $a + b > 20$

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств:

• $a + b > 20$: Это неравенство мы получили в результате сложения исходных неравенств. Следовательно, оно следует из условия.
• $a + b > 30$: Это неравенство не обязательно будет верным. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 6$ (что удовлетворяет условию $a > 5$) и $b = 16$ (что удовлетворяет условию $b > 15$). Тогда их сумма $a + b = 6 + 16 = 22$. Неравенство $22 > 30$ является ложным. Следовательно, это неравенство не следует из условия.
• $a + b > 18$: Мы уже установили, что $a + b > 20$. Поскольку любое число, которое больше 20, автоматически больше и 18 (так как $20 > 18$), это неравенство также является верным. Следовательно, оно следует из условия.

Ответ: из условия следуют неравенства $a + b > 20$ и $a + b > 18$.

б)

Нам даны два неравенства: $a > 10$ и $b > 15$. Так как $a$ больше 10, а $b$ больше 15, обе переменные $a$ и $b$ являются положительными числами. Согласно свойству умножения неравенств одинакового знака с положительными частями, мы можем почленно перемножить их. Это свойство гласит: если $x > y > 0$ и $z > w > 0$, то $xz > yw$.

Применим это свойство к нашим условиям: $a \cdot b > 10 \cdot 15$ $ab > 150$

Теперь проанализируем каждое из предложенных неравенств:

• $ab > 150$: Это неравенство мы получили в результате умножения исходных неравенств. Следовательно, оно следует из условия.
• $ab > 100$: Мы установили, что произведение $ab$ всегда больше 150. Поскольку любое число, которое больше 150, автоматически больше и 100 (так как $150 > 100$), это неравенство также является верным. Следовательно, оно следует из условия.
• $ab > 200$: Это неравенство не обязательно будет верным. Приведем контрпример. Пусть $a = 11$ (удовлетворяет $a > 10$) и $b = 16$ (удовлетворяет $b > 15$). Тогда их произведение $ab = 11 \cdot 16 = 176$. Неравенство $176 > 200$ является ложным. Следовательно, это неравенство не следует из условия.

Ответ: из условия следуют неравенства $ab > 150$ и $ab > 100$.

44 Не вычисляя значения суммы, сравните:

а) $0,7541 + 0,521$ и 1;

б) $299 + 268 + 371$ и 1000;

в) $0,2501 + 0,252 + 0,26 + 0,25$ и 1.

Образец. Сравним $2,38 + 2,39 + 2,46 + 2,5$ и 10:

$2,38 + 2,39 + 2,46 + 2,5 < 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2,5 = 10.$

Значит, $2,38 + 2,39 + 2,46 + 2,5 < 10.$

а) Чтобы сравнить сумму $0,7541 + 0,521$ и $1$, не вычисляя точного значения, мы можем оценить слагаемые. Мы видим, что каждое из слагаемых больше, чем $0,5$.
Так как $0,7541 > 0,5$ и $0,521 > 0,5$, то их сумма будет больше, чем сумма $0,5 + 0,5$.
$0,7541 + 0,521 > 0,5 + 0,5 = 1$.
Следовательно, данная сумма больше $1$.
Ответ: $0,7541 + 0,521 > 1$.

б) Чтобы сравнить сумму $299 + 268 + 371$ и $1000$, используем метод оценки сверху. Заменим каждое слагаемое на ближайшее большее "круглое" число.
Замечаем, что:
$299 < 300$
$268 < 300$
$371 < 400$
Теперь сложим правые части этих неравенств:
$299 + 268 + 371 < 300 + 300 + 400$.
Сумма в правой части равна $1000$.
Таким образом, $299 + 268 + 371 < 1000$.
Ответ: $299 + 268 + 371 < 1000$.

в) Сравним сумму $0,2501 + 0,252 + 0,26 + 0,25$ с числом $1$. В данном случае удобно использовать оценку снизу. Заметим, что $1 = 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25$. Сравним каждое слагаемое с числом $0,25$.
$0,2501 > 0,25$
$0,252 > 0,25$
$0,26 > 0,25$
$0,25 = 0,25$
Складывая левые и правые части, получаем:
$0,2501 + 0,252 + 0,26 + 0,25 > 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25$.
Сумма в правой части равна $1$.
Поскольку три из четырех слагаемых в левой части строго больше $0,25$, то и вся сумма будет строго больше $1$.
Ответ: $0,2501 + 0,252 + 0,26 + 0,25 > 1$.

45 Оцените площадь и периметр треугольника и параллелограмма, изображённых на рисунке, если известны границы сторон и одной из высот в каждой фигуре:

a) $4 < a < 5$

$3 < b < 4$

$4 < c < 5$

$2 < h < 3$

б) $10 < a < 11$

$5 < b < 6$

$3 < h < 4$

а

Для нахождения оценки периметра и площади треугольника воспользуемся заданными границами для его сторон и высоты.

Оценка периметра (P):

Периметр треугольника вычисляется по формуле $P = a + b + c$. Чтобы найти границы для периметра, нужно сложить почленно данные неравенства для сторон $a, b$ и $c$.

Даны неравенства:
$4 < a < 5$
$3 < b < 4$
$4 < c < 5$

Сложим левые и правые части неравенств:
$4 + 3 + 4 < a + b + c < 5 + 4 + 5$
$11 < P < 14$

Оценка площади (S):

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ch$, где $c$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию. Для оценки площади используем неравенства для $c$ и $h$.

Даны неравенства:
$4 < c < 5$
$2 < h < 3$

Перемножим почленно левые и правые части этих неравенств:
$4 \cdot 2 < c \cdot h < 5 \cdot 3$
$8 < ch < 15$

Теперь умножим все части полученного двойного неравенства на $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \cdot 8 < \frac{1}{2}ch < \frac{1}{2} \cdot 15$
$4 < S < 7.5$

Ответ: оценка для периметра $11 < P < 14$; оценка для площади $4 < S < 7.5$.

б

Для нахождения оценки периметра и площади параллелограмма воспользуемся заданными границами для его сторон и высоты.

Оценка периметра (P):

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Сначала найдем границы для суммы сторон $a + b$.

Даны неравенства:
$10 < a < 11$
$5 < b < 6$

Сложим почленно левые и правые части неравенств:
$10 + 5 < a + b < 11 + 6$
$15 < a + b < 17$

Теперь умножим все части полученного неравенства на 2:
$2 \cdot 15 < 2(a + b) < 2 \cdot 17$
$30 < P < 34$

Оценка площади (S):

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = bh$, где $b$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию. Для оценки площади используем неравенства для $b$ и $h$.

Даны неравенства:
$5 < b < 6$
$3 < h < 4$

Перемножим почленно левые и правые части этих неравенств:
$5 \cdot 3 < b \cdot h < 6 \cdot 4$
$15 < S < 24$

Ответ: оценка для периметра $30 < P < 34$; оценка для площади $15 < S < 24$.

46 Николай договорился о встрече у метро в 10 ч. На дорогу от дома до метро у Николая уходит от 10 до 15 мин, а на поездку в метро до места встречи — от 18 до 20 мин. Успеет ли он к назначенному времени, если выйдет из дома:

а) в 9 ч 20 мин;

б) в 9 ч 40 мин;

в) в 9 ч 30 мин?

Для решения задачи необходимо определить, успеет ли Николай на встречу в 10:00. Для этого нужно рассчитать минимальное и максимальное время, которое он потратит на дорогу, и прибавить его к времени выхода из дома в каждом из случаев.

Данные по времени в пути:

• Время от дома до метро: от 10 до 15 минут.
• Время поездки в метро: от 18 до 20 минут.

Сначала рассчитаем общее минимальное и максимальное время в пути.

Минимальное время в пути (если оба этапа пройдены максимально быстро):
$10 \text{ мин} + 18 \text{ мин} = 28 \text{ мин}$.

Максимальное время в пути (если на дорогу уйдет больше всего времени):
$15 \text{ мин} + 20 \text{ мин} = 35 \text{ мин}$.

Таким образом, вся дорога займет у Николая от 28 до 35 минут. Чтобы гарантированно успеть, он должен прибыть на место встречи не позднее 10:00 даже в том случае, если дорога займет максимальное время (35 минут).

а) если выйдет из дома в 9 ч 20 мин

Рассчитаем время прибытия.
Самое раннее время прибытия (при минимальном времени в пути): $9 \text{ ч } 20 \text{ мин} + 28 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 48 \text{ мин}$.
Самое позднее время прибытия (при максимальном времени в пути): $9 \text{ ч } 20 \text{ мин} + 35 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 55 \text{ мин}$.
Поскольку даже самое позднее время прибытия (9:55) наступает раньше 10:00, Николай гарантированно успеет.
Ответ: да, успеет.

б) если выйдет из дома в 9 ч 40 мин

Рассчитаем время прибытия.
Самое раннее время прибытия: $9 \text{ ч } 40 \text{ мин} + 28 \text{ мин} = 10 \text{ ч } 08 \text{ мин}$.
Самое позднее время прибытия: $9 \text{ ч } 40 \text{ мин} + 35 \text{ мин} = 10 \text{ ч } 15 \text{ мин}$.
Даже в самом лучшем случае Николай прибудет в 10:08, что позже назначенного времени. Следовательно, он не успеет.
Ответ: нет, не успеет.

в) если выйдет из дома в 9 ч 30 мин

Рассчитаем время прибытия.
Самое раннее время прибытия: $9 \text{ ч } 30 \text{ мин} + 28 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 58 \text{ мин}$.
Самое позднее время прибытия: $9 \text{ ч } 30 \text{ мин} + 35 \text{ мин} = 10 \text{ ч } 05 \text{ мин}$.
В этом случае Николай может как успеть (прибыв в 9:58), так и опоздать (прибыв в 10:05). Поскольку нет гарантии, что он прибудет вовремя, считается, что он рискует не успеть.
Ответ: нет, не успеет.

47 Пятитомную энциклопедию и десятитомное собрание сочинений хотят разместить на книжной полке длиной 80 см. Возможно ли это, если толщина тома энциклопедии $a$ см и толщина тома собрания сочинений $b$ см находятся в границах: $6,5 < a < 7,4$; $2,9 < b < 4,3$?

Для ответа на вопрос необходимо оценить общую толщину всех книг и сравнить ее с длиной полки.

У нас есть 5 томов энциклопедии и 10 томов собрания сочинений.

1. Найдем диапазон общей толщины томов энциклопедии.
Толщина одного тома энциклопедии, обозначенная как $a$, находится в границах: $6,5 \text{ см} < a < 7,4 \text{ см}$.
Поскольку томов 5, общая их толщина $5a$ будет находиться в границах, полученных умножением каждой части неравенства на 5:
$5 \cdot 6,5 < 5a < 5 \cdot 7,4$
$32,5 < 5a < 37$
Таким образом, общая толщина пяти томов энциклопедии больше 32,5 см, но меньше 37 см.

2. Найдем диапазон общей толщины томов собрания сочинений.
Толщина одного тома собрания сочинений, обозначенная как $b$, находится в границах: $2,9 \text{ см} < b < 4,3 \text{ см}$.
Поскольку томов 10, общая их толщина $10b$ будет находиться в границах, полученных умножением каждой части неравенства на 10:
$10 \cdot 2,9 < 10b < 10 \cdot 4,3$
$29 < 10b < 43$
Таким образом, общая толщина десяти томов собрания сочинений больше 29 см, но меньше 43 см.

3. Найдем диапазон общей толщины всех книг.
Общая толщина всех книг $L$ равна сумме толщин томов энциклопедии и собрания сочинений: $L = 5a + 10b$.
Чтобы найти диапазон для $L$, сложим почленно полученные неравенства:
$32,5 < 5a < 37$
$29 < 10b < 43$
Складываем левые части с левыми, а правые с правыми:
$32,5 + 29 < 5a + 10b < 37 + 43$
$61,5 < L < 80$

Результат показывает, что общая толщина всех книг $L$ строго больше 61,5 см и строго меньше 80 см.

Длина книжной полки равна 80 см. Поскольку максимальная возможная общая толщина всех книг меньше 80 см, они гарантированно поместятся на полке. Следовательно, это возможно.

Ответ: да, возможно.

48 Оцените площадь и периметр прямоугольного треугольника с катетами $\sqrt{3}$ см и $\sqrt{2}$ см. (Ответ дайте в десятичных дробях с одним знаком после запятой.)

Оценка площади

Площадь прямоугольного треугольника $S$ с катетами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.

Даны катеты $a = \sqrt{3}$ см и $b = \sqrt{2}$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см².

Для оценки значения площади необходимо вычислить приближенное значение $\sqrt{6}$.

$\sqrt{6} \approx 2,449...$

Теперь вычислим площадь:

$S \approx \frac{2,449...}{2} \approx 1,224...$ см².

Согласно условию, ответ требуется дать в виде десятичной дроби с одним знаком после запятой. Округляем полученное значение:

$S \approx 1,2$ см².

Ответ: 1,2 см².

Оценка периметра

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

Найдем длину гипотенузы $c$ с помощью теоремы Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

$c^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$

Отсюда, $c = \sqrt{5}$ см.

Теперь можем найти периметр:

$P = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{5}$ см.

Для оценки значения периметра используем приближенные значения корней:

$\sqrt{3} \approx 1,732...$
$\sqrt{2} \approx 1,414...$
$\sqrt{5} \approx 2,236...$

Сложим эти значения:

$P \approx 1,732... + 1,414... + 2,236... \approx 5,382...$ см.

Округляем результат до одного знака после запятой:

$P \approx 5,4$ см.

Ответ: 5,4 см.

49 a) Докажите, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

б) Докажите, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

а) Докажите, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его периметр $P$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + CD + DA$. Диагонали четырёхугольника — это отрезки $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что $P > AC + BD$.

Для доказательства воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим треугольники, образованные сторонами и диагоналями четырёхугольника.

Применим неравенство треугольника к $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

$AB + BC > AC$

$AD + DC > AC$

Сложив эти два неравенства, получим:

$(AB + BC) + (AD + DC) > AC + AC$

$AB + BC + CD + DA > 2AC$

$P > 2AC$

Теперь применим неравенство треугольника к $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$:

$AB + AD > BD$

$BC + CD > BD$

Сложив эти два неравенства, получим:

$(AB + AD) + (BC + CD) > BD + BD$

$AB + BC + CD + DA > 2BD$

$P > 2BD$

Мы получили два неравенства: $P > 2AC$ и $P > 2BD$. Сложим их:

$P + P > 2AC + 2BD$

$2P > 2(AC + BD)$

Разделив обе части неравенства на 2, получаем:

$P > AC + BD$

Таким образом, доказано, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано. Для выпуклого четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $d_1, d_2$ справедливо неравенство $a+b+c+d > d_1+d_2$.

б) Докажите, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

Пусть дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Его периметр $P$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + CD + DE + EA$. Пятиугольник имеет пять диагоналей: $AC, BD, CE, DA$ и $EB$. Нам нужно доказать, что периметр $P$ больше полусуммы длин его диагоналей, то есть:

$P > \frac{AC + BD + CE + DA + EB}{2}$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$2P > AC + BD + CE + DA + EB$

Для доказательства снова воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим треугольники, у которых две стороны являются смежными сторонами пятиугольника, а третья сторона — его диагональю.

1. В треугольнике $ABC$: $AB + BC > AC$.

2. В треугольнике $BCD$: $BC + CD > BD$.

3. В треугольнике $CDE$: $CD + DE > CE$.

4. В треугольнике $DEA$: $DE + EA > DA$.

5. В треугольнике $EAB$: $EA + AB > EB$.

Теперь сложим все пять полученных неравенств:

$(AB + BC) + (BC + CD) + (CD + DE) + (DE + EA) + (EA + AB) > AC + BD + CE + DA + EB$

Сгруппируем слагаемые в левой части. Каждая сторона пятиугольника входит в сумму дважды:

$2AB + 2BC + 2CD + 2DE + 2EA > AC + BD + CE + DA + EB$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(AB + BC + CD + DE + EA) > AC + BD + CE + DA + EB$

Выражение в скобках — это периметр пятиугольника $P$. Таким образом, мы получаем:

$2P > AC + BD + CE + DA + EB$

Разделив обе части неравенства на 2, приходим к искомому результату:

$P > \frac{AC + BD + CE + DA + EB}{2}$

Таким образом, доказано, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано. Для выпуклого пятиугольника с периметром $P$ и суммой длин диагоналей $S_d$ справедливо неравенство $P > \frac{S_d}{2}$.