Страница 18 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

31 Пользуясь рисунком (рис. 1.11), сравните указанную пару чисел и ответ запишите с помощью разных знаков неравенства:

а) $a$ и $c$;

б) $d$ и $b$;

в) $a$ и $d$;

г) $c$ и $b$.

Рис. 1.11

На рисунке 1.11 изображена числовая ось, на которой отмечены точки, соответствующие числам a, b, c и d. Стандартно, на числовой оси числа увеличиваются слева направо. Следовательно, из двух чисел то, которое расположено правее, является большим, а то, которое левее, — меньшим. Основываясь на этом правиле, сравним указанные пары чисел.

а) Сравним числа a и c. На числовой оси точка a расположена левее точки c. Это означает, что число a меньше числа c. Данное неравенство можно записать двумя способами: $a < c$ (a меньше c) или $c > a$ (c больше a).
Ответ: $a < c$ и $c > a$

б) Сравним числа d и b. На числовой оси точка d расположена правее точки b. Это означает, что число d больше числа b. Данное неравенство можно записать двумя способами: $d > b$ (d больше b) или $b < d$ (b меньше d).
Ответ: $d > b$ и $b < d$

в) Сравним числа a и d. На числовой оси точка a расположена левее точки d. Это означает, что число a меньше числа d. Данное неравенство можно записать двумя способами: $a < d$ (a меньше d) или $d > a$ (d больше a).
Ответ: $a < d$ и $d > a$

г) Сравним числа c и b. На числовой оси точка c расположена правее точки b. Это означает, что число c больше числа b. Данное неравенство можно записать двумя способами: $c > b$ (c больше b) или $b < c$ (b меньше c).
Ответ: $c > b$ и $b < c$

32 a) Известно, что $a < c, b > c, d > b$. Сравните $a$ и $b$, $a$ и $d$, $c$ и $d$.

б) Известно, что $a > 0, b < 0, a < c$. Сравните $a$ и $b$, $b$ и $c$, $c$ и $0$.

Подсказка. Для наглядности воспользуйтесь координатной прямой.

а) По условию задачи нам даны три неравенства: $a < c$, $b > c$ и $d > b$. Для удобства сравнения преобразуем их так, чтобы все знаки неравенства были направлены в одну сторону. Неравенство $b > c$ эквивалентно $c < b$, а $d > b$ эквивалентно $b < d$.
Теперь мы можем объединить эти неравенства в одну общую цепочку, используя свойство транзитивности (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$):
Из $a < c$ и $c < b$ следует, что $a < c < b$.
Из полученного $a < c < b$ и условия $b < d$ следует общая цепочка: $a < c < b < d$.
Теперь, имея эту цепочку, легко сравнить требуемые пары чисел:
• Сравнение $a$ и $b$: из цепочки $a < c < b$ напрямую следует, что $a < b$.
• Сравнение $a$ и $d$: из цепочки $a < c < b < d$ следует, что $a < d$.
• Сравнение $c$ и $d$: из цепочки $c < b < d$ следует, что $c < d$.
Ответ: $a < b$, $a < d$, $c < d$.

б) По условию задачи нам даны следующие соотношения: $a > 0$, $b < 0$ и $a < c$.
Из условия $a > 0$ мы знаем, что число $a$ положительное. Из $b < 0$ следует, что число $b$ отрицательное. Любое отрицательное число меньше нуля, а любое положительное число больше нуля. Таким образом, мы можем составить цепочку $b < 0 < a$.
Также нам дано условие $a < c$.
Объединяя все известные нам факты, мы получаем итоговую цепочку неравенств: $b < 0 < a < c$.
Используя эту общую цепочку, сравним требуемые пары:
• Сравнение $a$ и $b$: из цепочки $b < 0 < a$ следует, что $b < a$, что эквивалентно записи $a > b$.
• Сравнение $b$ и $c$: из цепочки $b < 0 < a < c$ напрямую следует, что $b < c$.
• Сравнение $c$ и $0$: из цепочки $0 < a < c$ следует, что $0 < c$, что эквивалентно записи $c > 0$.
Ответ: $a > b$, $b < c$, $c > 0$.

33 а) Можно ли сравнить числа а и с, если:

1) $a > b, b = c$; 2) $a > b, b \leq c$; 3) $a \geq b, b \geq c$; 4) $a < b, c \geq b$; 5) $a \leq b, b < c?

б) Можно ли сравнить числа а и d, если $c \leq a \leq b$ и:

1) $b < d$; 2) $c < d < b$; 3) $d < c$; 4) $d \leq b?

в) Какой вывод можно сделать о соотношении чисел а и b, если выполняются сразу два неравенства: $a \geq b$ и $a \leq b?

а) Можно ли сравнить числа a и c, если:

1) $a > b, b = c$

Поскольку по условию $b = c$, мы можем заменить $b$ на $c$ в первом неравенстве $a > b$. В результате такой подстановки мы получаем неравенство $a > c$. Таким образом, числа можно сравнить.
Ответ: Да, можно. $a > c$.

2) $a > b, b \le c$

Из этих условий нельзя однозначно сравнить $a$ и $c$. Приведем примеры, которые показывают, что возможны разные соотношения между $a$ и $c$.
Пусть $a=5, b=4$. Условие $a > b$ выполнено ($5 > 4$).
- Если $c=6$, то условие $b \le c$ выполнено ($4 \le 6$). В этом случае $a < c$ ($5 < 6$).
- Если $c=5$, то условие $b \le c$ выполнено ($4 \le 5$). В этом случае $a = c$ ($5 = 5$).
- Если $c=4$, то условие $b \le c$ выполнено ($4 \le 4$). В этом случае $a > c$ ($5 > 4$).
Поскольку возможны все три варианта соотношения ($a < c$, $a = c$, $a > c$), сделать однозначный вывод о сравнении $a$ и $c$ нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

3) $a \ge b, b \ge c$

Данный случай является примером свойства транзитивности для нестрогих неравенств. Если число $a$ больше или равно числу $b$, а число $b$ в свою очередь больше или равно числу $c$, то из этого следует, что число $a$ больше или равно числу $c$. Математически это записывается так: из $a \ge b$ и $b \ge c$ следует $a \ge c$.
Ответ: Да, можно. $a \ge c$.

4) $a < b, c \ge b$

Перепишем второе неравенство в более привычном виде: $b \le c$. Теперь у нас есть система из двух неравенств: $a < b$ и $b \le c$. По свойству транзитивности, если $a$ строго меньше $b$, а $b$ меньше или равно $c$, то $a$ будет строго меньше $c$.
Ответ: Да, можно. $a < c$.

5) $a \le b, b < c$

Здесь также применяется свойство транзитивности. Если число $a$ меньше или равно числу $b$, а число $b$ строго меньше числа $c$, то из этого следует, что число $a$ строго меньше числа $c$. Из $a \le b$ и $b < c$ следует $a < c$.
Ответ: Да, можно. $a < c$.

б) Можно ли сравнить числа a и d, если $c \le a \le b$ и:

1) $b < d$

Из основного условия мы знаем, что $a \le b$. Дополнительно нам дано, что $b < d$. Объединяя эти два неравенства ($a \le b$ и $b < d$), по свойству транзитивности мы можем заключить, что $a < d$.
Ответ: Да, можно. $a < d$.

2) $c < d < b$

В данном случае сравнить $a$ и $d$ однозначно нельзя. Условие $c \le a \le b$ означает, что $a$ находится на отрезке $[c, b]$. Условие $c < d < b$ означает, что $d$ находится в интервале $(c, b)$. Их взаимное расположение не определено.
Например, пусть $c=1, b=10$. Тогда $1 \le a \le 10$. Пусть $d=5$, что удовлетворяет условию $1 < 5 < 10$.
- Если мы выберем $a=4$, то $a < d$.
- Если же мы выберем $a=6$, то $a > d$.
- А если выбрать $a=5$, то $a = d$.
Так как возможны все варианты, однозначно сравнить $a$ и $d$ нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

3) $d < c$

Из основного условия мы знаем, что $c \le a$. Дополнительно нам дано, что $d < c$. Объединяя эти два неравенства ($d < c$ и $c \le a$), по свойству транзитивности мы можем заключить, что $d < a$, или, что то же самое, $a > d$.
Ответ: Да, можно. $a > d$.

4) $d \le b$

Условия $a \le b$ и $d \le b$ говорят лишь о том, что оба числа, $a$ и $d$, не превышают $b$. Это не позволяет сравнить их между собой.
Например, пусть $c=1$ и $b=10$. Тогда $1 \le a \le 10$, и по условию $d \le 10$.
- Если выбрать $a=5$ и $d=4$, то оба условия выполняются, и при этом $a > d$.
- Если выбрать $a=5$ и $d=6$, то оба условия также выполняются, но $a < d$.
Следовательно, однозначно сравнить числа нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

в) Какой вывод можно сделать о соотношении чисел a и b, если выполняются сразу два неравенства: $a \ge b$ и $a \le b$?

Рассмотрим систему из двух неравенств: $\begin{cases} a \ge b \\ a \le b \end{cases}$.
Первое неравенство $a \ge b$ означает, что "число $a$ больше или равно числу $b$".
Второе неравенство $a \le b$ означает, что "число $a$ меньше или равно числу $b$".
Единственная возможность, при которой оба эти утверждения могут быть истинными одновременно, — это когда число $a$ равно числу $b$. Если бы $a$ было строго больше $b$, то второе неравенство бы не выполнялось. Если бы $a$ было строго меньше $b$, то первое неравенство бы не выполнялось. Таким образом, единственным решением данной системы является равенство.
Ответ: Числа $a$ и $b$ равны, то есть $a = b$.

Расположите в порядке возрастания числа; ответ запишите в виде цепочки неравенств (№ 34–35).

34 а) 5,232; –1,232; 5,2302; –0,2322; –0,232;

б) 0,41357...; 0,42; 0,042; 0,41333...

в) 0,2; 0,3; 0,4; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$;

г) –0,7; –0,77; –0,78; –0,777... .

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, сначала разделим их на отрицательные и положительные. Затем упорядочим каждую группу и объединим результаты. Помним, что любое отрицательное число меньше любого положительного.

Отрицательные числа: -1,232; -0,2322; -0,232.
Среди отрицательных чисел меньшим является то, у которого модуль (абсолютная величина) больше. Сравним их модули:
$|-1,232| = 1,232$
$|-0,2322| = 0,2322$
$|-0,232| = 0,232$
Поскольку $1,232 > 0,2322 > 0,2320$, то для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-1,232 < -0,2322 < -0,232$.

Положительные числа: 5,232; 5,2302.
Сравниваем их, начиная со старших разрядов. Целые части равны. Десятые и сотые доли также равны. Сравниваем тысячные: у числа 5,232 это 2, у 5,2302 это 0. Так как $0 < 2$, то $5,2302 < 5,232$.

Объединяем упорядоченные группы в одну цепочку.

Ответ: $-1,232 < -0,2322 < -0,232 < 5,2302 < 5,232$.

Все представленные числа являются положительными десятичными дробями. Для их сравнения будем поочередно сравнивать цифры в соответствующих разрядах слева направо, начиная с целой части.

Числа для сравнения: 0,41357...; 0,42; 0,042; 0,41333...

1. Целая часть у всех чисел равна 0.
2. Сравниваем десятые доли: у числа 0,042 это 0, у остальных — 4. Значит, 0,042 — наименьшее число.
3. Сравниваем оставшиеся числа: 0,41357...; 0,42; 0,41333... по сотым долям. У числа 0,42 это 2, у двух других — 1. Значит, 0,42 — наибольшее из этих трех.
4. Осталось сравнить 0,41357... и 0,41333... Первые три знака после запятой у них одинаковы (413). Сравниваем четвертый знак (десятитысячные): у первого числа это 5, у второго — 3. Так как $3 < 5$, то $0,41333... < 0,41357...$.

Собираем все числа в порядке возрастания.

Ответ: $0,042 < 0,41333... < 0,41357... < 0,42$.

Чтобы сравнить числа, представленные в разных форматах (десятичные и обыкновенные дроби), удобнее всего привести их к одному виду. Переведем обыкновенные дроби в десятичные.

Исходный набор чисел: 0,2; 0,3; 0,4; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$.

Выполним преобразование:
$\frac{1}{2} = 0,5$
$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333...$
$\frac{1}{4} = 0,25$

Теперь сравним полученный набор десятичных дробей: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,333...; 0,25.

Располагая их в порядке возрастания, получаем:
$0,2 < 0,25 < 0,3 < 0,333... < 0,4 < 0,5$.

Теперь заменим десятичные представления на исходные числа.

Ответ: $0,2 < \frac{1}{4} < 0,3 < \frac{1}{3} < 0,4 < \frac{1}{2}$.

Все числа в данном наборе являются отрицательными. Правило сравнения отрицательных чисел гласит: из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Числа для сравнения: -0,7; -0,77; -0,78; -0,777...

Найдем модули этих чисел:
$|-0,7| = 0,7$
$|-0,77| = 0,77$
$|-0,78| = 0,78$
$|-0,777...| = 0,777...$

Теперь расположим модули в порядке возрастания. Для наглядности можно дополнить их нулями: 0,700...; 0,770...; 0,780...; 0,777...
Получаем следующую последовательность: $0,7 < 0,77 < 0,777... < 0,78$.

Для исходных отрицательных чисел порядок будет обратным.

Ответ: $-0,78 < -0,777... < -0,77 < -0,7$.

Расположите в порядке возрастания числа; ответ запишите в виде цепочки неравенств (№ 34–35).

а) $7$; $\sqrt{50}$; $4\sqrt{3}$;

б) $2\sqrt{5}$; $3\sqrt{3}$; $3,5$; $3,555...$;

в) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{\pi}$;

г) $9$; $4\sqrt{5}$; $3\pi$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, сравним их значения.

а) $7; \sqrt{50}; 4\sqrt{3}$

Для сравнения этих чисел, представим их все в виде корней или возведем в квадрат, так как все числа положительные. Возведение в квадрат проще.

$7^2 = 49$

$(\sqrt{50})^2 = 50$

$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

Сравнивая полученные квадраты, получаем: $48 < 49 < 50$.

Следовательно, в том же порядке располагаются и исходные числа.

Ответ: $4\sqrt{3} < 7 < \sqrt{50}$

б) $2\sqrt{5}; 3\sqrt{3}; 3,5; 3,555...$

Возведем все числа в квадрат для удобства сравнения.

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

$(3,5)^2 = 12,25$

Число $3,555...$ — это периодическая дробь $3,(5)$, которую можно представить в виде обыкновенной дроби: $3\frac{5}{9} = \frac{32}{9}$.

$(\frac{32}{9})^2 = \frac{1024}{81} \approx 12,64$

Сравнивая квадраты чисел, получаем: $12,25 < \frac{1024}{81} < 20 < 27$.

Значит, исходные числа располагаются в следующем порядке:

Ответ: $3,5 < 3,555... < 2\sqrt{5} < 3\sqrt{3}$

в) $\frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{\pi}$

Для сравнения дробей с одинаковым числителем (равным 1) нужно сравнить их знаменатели. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.

Сравним знаменатели: $3, 4$ и $\pi$.

Приблизительное значение числа $\pi$ равно $3,14159...$

Расположим знаменатели в порядке возрастания: $3 < \pi < 4$.

Следовательно, дроби будут располагаться в обратном порядке:

Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{1}{\pi} < \frac{1}{3}$

г) $9; 4\sqrt{5}; 3\pi$

Сравним числа, возведя их в квадрат.

$9^2 = 81$

$(4\sqrt{5})^2 = 16 \cdot 5 = 80$

$(3\pi)^2 = 9\pi^2$. Так как $\pi \approx 3,14$, то $\pi > 3$, а значит $\pi^2 > 9$.

Тогда $9\pi^2 > 9 \cdot 9 = 81$.

Сравнивая квадраты, получаем: $80 < 81 < 9\pi^2$.

Следовательно, исходные числа располагаются в том же порядке.

Ответ: $4\sqrt{5} < 9 < 3\pi$

36. Не пользуясь калькулятором, расположите числа в порядке возрастания и объясните, как вы рассуждали:

а) $\frac{2}{3}$; $\sqrt{0,5}$; $0,66$; $0,666$; $\sqrt{0,3}$.

б) $\frac{1}{6}$; $\sqrt{0,02}$; $\sqrt{0,046}$; $0,16$; $0,166$.

а) Чтобы расположить числа $\frac{2}{3}; \sqrt{0,5}; 0,66; 0,666; \sqrt{0,3}$ в порядке возрастания, сравним их. Поскольку все числа положительные, мы можем сравнить их квадраты. Если $a > b > 0$, то $a^2 > b^2$.

Найдем квадраты каждого числа:

• $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. Преобразуем дробь в десятичную: $4 \div 9 = 0,444... = 0,(4)$.
• $(\sqrt{0,5})^2 = 0,5$.
• $(0,66)^2 = 0,66 \times 0,66 = 0,4356$.
• $(0,666)^2 = 0,666 \times 0,666 = 0,443556$.
• $(\sqrt{0,3})^2 = 0,3$.

Теперь расположим полученные квадраты чисел в порядке возрастания: $0,3 < 0,4356 < 0,443556 < 0,444... < 0,5$.

Это соответствует следующему неравенству для квадратов исходных чисел: $(\sqrt{0,3})^2 < (0,66)^2 < (0,666)^2 < (\frac{2}{3})^2 < (\sqrt{0,5})^2$.

Так как все исходные числа положительны, их порядок будет таким же, как и порядок их квадратов.

Ответ: $\sqrt{0,3}; 0,66; 0,666; \frac{2}{3}; \sqrt{0,5}$.

б) Чтобы расположить числа $\frac{1}{6}; \sqrt{0,02}; \sqrt{0,046}; 0,16; 0,166$ в порядке возрастания, воспользуемся тем же методом — сравним их квадраты, так как все числа положительные.

Найдем квадраты каждого числа:

• $(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$. Преобразуем дробь в десятичную: $1 \div 36 = 0,02777... = 0,02(7)$.
• $(\sqrt{0,02})^2 = 0,02$.
• $(\sqrt{0,046})^2 = 0,046$.
• $(0,16)^2 = 0,16 \times 0,16 = 0,0256$.
• $(0,166)^2 = 0,166 \times 0,166 = 0,027556$.

Теперь расположим полученные квадраты чисел в порядке возрастания. Для этого сравним их по разрядам:

• $0,02$ (самое маленькое)
• $0,0256$
• $0,027556$
• $0,02777...$
• $0,046$ (самое большое)

Итак, $0,02 < 0,0256 < 0,027556 < 0,02(7) < 0,046$.

Это соответствует следующему неравенству для квадратов исходных чисел: $(\sqrt{0,02})^2 < (0,16)^2 < (0,166)^2 < (\frac{1}{6})^2 < (\sqrt{0,046})^2$.

Поскольку все исходные числа положительны, порядок для них сохраняется.

Ответ: $\sqrt{0,02}; 0,16; 0,166; \frac{1}{6}; \sqrt{0,046}$.

37 Известно, что $a > b$. Какое неравенство получится, если к обеим его частям прибавить 8; -25; $b + c$; $-b$; вычесть из его обеих частей эти же числа?

Для решения данной задачи используется основное свойство числовых неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число (или из обеих частей вычесть одно и то же число), то знак неравенства не изменится. Исходное неравенство: $a > b$.

прибавить 8

Прибавим число 8 к обеим частям неравенства $a > b$. Знак неравенства сохранится.

$a + 8 > b + 8$

Ответ: $a + 8 > b + 8$.

прибавить -25

Прибавим число -25 к обеим частям неравенства. Это действие равносильно вычитанию 25.

$a + (-25) > b + (-25)$

$a - 25 > b - 25$

Ответ: $a - 25 > b - 25$.

прибавить b + c

Прибавим выражение $b + c$ к обеим частям неравенства.

$a + (b + c) > b + (b + c)$

Упростим правую часть неравенства: $a + b + c > 2b + c$.

Ответ: $a + b + c > 2b + c$.

прибавить -b

Прибавим выражение $-b$ к обеим частям неравенства.

$a + (-b) > b + (-b)$

Упростим неравенство: $a - b > 0$.

Ответ: $a - b > 0$.

вычесть 8

Вычтем число 8 из обеих частей неравенства $a > b$.

$a - 8 > b - 8$

Ответ: $a - 8 > b - 8$.

вычесть -25

Вычтем число -25 из обеих частей. Это действие равносильно прибавлению 25.

$a - (-25) > b - (-25)$

$a + 25 > b + 25$

Ответ: $a + 25 > b + 25$.

вычесть b + c

Вычтем выражение $b + c$ из обеих частей неравенства.

$a - (b + c) > b - (b + c)$

Упростим неравенство, раскрыв скобки: $a - b - c > b - b - c$, что дает $a - b - c > -c$.

Ответ: $a - b - c > -c$.

вычесть -b

Вычтем выражение $-b$ из обеих частей неравенства. Это действие равносильно прибавлению $b$.

$a - (-b) > b - (-b)$

Упростим неравенство: $a + b > 2b$.

Ответ: $a + b > 2b$.

38 Известно, что $a + 6 \geq b + 6$. Объясните, почему верно неравенство: $a \geq b$; $a + 8 \geq b + 8$; $a - 10 \geq b - 10$; $a - b \geq 0$.

$a \ge b$
Мы исходим из данного в условии верного неравенства $a + 6 \ge b + 6$. Согласно свойству числовых неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычтем из обеих частей число 6:
$a + 6 - 6 \ge b + 6 - 6$
Упростив выражение, получаем:
$a \ge b$
Таким образом, неравенство $a \ge b$ является верным.
Ответ: $a \ge b$.

$a + 8 \ge b + 8$
В предыдущем пункте мы установили, что неравенство $a \ge b$ является верным. Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавим к обеим частям неравенства $a \ge b$ число 8:
$a + 8 \ge b + 8$
Таким образом, неравенство $a + 8 \ge b + 8$ является верным.
Ответ: $a + 8 \ge b + 8$.

$a - 10 \ge b - 10$
Воспользуемся доказанным ранее неравенством $a \ge b$. Вычтем из обеих его частей число 10. Согласно свойству неравенств, знак при этом не изменится:
$a - 10 \ge b - 10$
Таким образом, неравенство $a - 10 \ge b - 10$ является верным.
Ответ: $a - 10 \ge b - 10$.

$a - b \ge 0$
Используем доказанное неравенство $a \ge b$. Перенесём слагаемое $b$ из правой части в левую с противоположным знаком. Это преобразование является равносильным вычитанию $b$ из обеих частей неравенства:
$a - b \ge b - b$
Упростив правую часть, получаем:
$a - b \ge 0$
Таким образом, неравенство $a - b \ge 0$ является верным.
Ответ: $a - b \ge 0$.

39 Дано неравенство $a + 3 - b < p - q - 5$. С помощью переноса слагаемых из одной части в другую получите неравенство, в котором:

а) все буквы собраны в левой части, числа — в правой;

б) нет слагаемых со знаком «минус».

Дано исходное неравенство: $a + 3 - b < p - q - 5$.

Основное правило, которое мы будем использовать, заключается в том, что при переносе слагаемого из одной части неравенства в другую его знак меняется на противоположный.

а) все буквы собраны в левой части, числа — в правой

Чтобы выполнить это условие, нам нужно перенести все слагаемые, содержащие буквы ($p$ и $-q$), из правой части в левую, а слагаемые, являющиеся числами ($3$), из левой части в правую.

1. Перенесем $p$ из правой части в левую. Знак изменится с «+» на «−».

2. Перенесем $-q$ из правой части в левую. Знак изменится с «−» на «+».

3. Перенесем $3$ из левой части в правую. Знак изменится с «+» на «−».

После переноса слагаемых неравенство примет вид:

$a - b - p + q < -5 - 3$

Теперь выполним вычитание в правой части:

$-5 - 3 = -8$

В результате получаем неравенство, где все буквы находятся слева, а числа — справа:

$a - b - p + q < -8$

Ответ: $a - b - p + q < -8$

б) нет слагаемых со знаком «минус»

Чтобы избавиться от слагаемых со знаком «минус», мы должны перенести каждое из них в противоположную часть неравенства, изменив их знак на «плюс».

В исходном неравенстве $a + 3 - b < p - q - 5$ у нас есть три слагаемых со знаком «минус»: $-b$, $-q$, $-5$.

1. Перенесем $-b$ из левой части в правую, оно станет $+b$.

2. Перенесем $-q$ из правой части в левую, оно станет $+q$.

3. Перенесем $-5$ из правой части в левую, оно станет $+5$.

Соберем все слагаемые после переноса:

$a + 3 + q + 5 < p + b$

Теперь сложим числа в левой части:

$3 + 5 = 8$

В результате получаем неравенство, в котором нет слагаемых со знаком «минус»:

$a + q + 8 < p + b$

Ответ: $a + q + 8 < p + b$

40 Известно, что $a < b$. Запишите верное неравенство, которое получится, если обе части этого неравенства:

a) умножить на 30; на -1; на $\frac{1}{3}$;

б) разделить на 5; на -1; на 0,5.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства числовых неравенств. Основное правило, которое мы будем применять, заключается в следующем:

• При умножении или делении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число, знак неравенства не меняется.
• При умножении или делении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (например, $<$ на $>$ и наоборот).

Исходное неравенство: $a < b$.

а) умножить на 30; на -1; на $\frac{1}{3}$

1. Умножим обе части неравенства $a < b$ на 30.
Так как 30 — положительное число ($30 > 0$), знак неравенства не меняется. Получаем: $a \cdot 30 < b \cdot 30$.
Ответ: $30a < 30b$.

2. Умножим обе части неравенства $a < b$ на -1.
Так как -1 — отрицательное число ($-1 < 0$), знак неравенства меняется на противоположный (с $<$ на $>$). Получаем: $a \cdot (-1) > b \cdot (-1)$.
Ответ: $-a > -b$.

3. Умножим обе части неравенства $a < b$ на $\frac{1}{3}$.
Так как $\frac{1}{3}$ — положительное число ($\frac{1}{3} > 0$), знак неравенства не меняется. Получаем: $a \cdot \frac{1}{3} < b \cdot \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$.

б) разделить на 5; на -1; на 0,5

1. Разделим обе части неравенства $a < b$ на 5.
Деление на 5 эквивалентно умножению на $\frac{1}{5}$. Так как 5 — положительное число ($5 > 0$), знак неравенства не меняется. Получаем: $\frac{a}{5} < \frac{b}{5}$.
Ответ: $\frac{a}{5} < \frac{b}{5}$.

2. Разделим обе части неравенства $a < b$ на -1.
Деление на -1 эквивалентно умножению на -1. Так как -1 — отрицательное число ($-1 < 0$), знак неравенства меняется на противоположный (с $<$ на $>$). Получаем: $\frac{a}{-1} > \frac{b}{-1}$.
Ответ: $-a > -b$.

3. Разделим обе части неравенства $a < b$ на 0,5.
Так как 0,5 — положительное число ($0,5 > 0$), знак неравенства не меняется. Получаем: $\frac{a}{0,5} < \frac{b}{0,5}$.
Ответ: $\frac{a}{0,5} < \frac{b}{0,5}$.