Номер 34, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.3 Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 34, страница 18.

Расположите в порядке возрастания числа; ответ запишите в виде цепочки неравенств (№ 34–35).

34 а) 5,232; –1,232; 5,2302; –0,2322; –0,232;

б) 0,41357...; 0,42; 0,042; 0,41333...

в) 0,2; 0,3; 0,4; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$;

г) –0,7; –0,77; –0,78; –0,777... .

а)

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, сначала разделим их на отрицательные и положительные. Затем упорядочим каждую группу и объединим результаты. Помним, что любое отрицательное число меньше любого положительного.

Отрицательные числа: -1,232; -0,2322; -0,232.
Среди отрицательных чисел меньшим является то, у которого модуль (абсолютная величина) больше. Сравним их модули:
$|-1,232| = 1,232$
$|-0,2322| = 0,2322$
$|-0,232| = 0,232$
Поскольку $1,232 > 0,2322 > 0,2320$, то для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-1,232 < -0,2322 < -0,232$.

Положительные числа: 5,232; 5,2302.
Сравниваем их, начиная со старших разрядов. Целые части равны. Десятые и сотые доли также равны. Сравниваем тысячные: у числа 5,232 это 2, у 5,2302 это 0. Так как $0 < 2$, то $5,2302 < 5,232$.

Объединяем упорядоченные группы в одну цепочку.

Ответ: $-1,232 < -0,2322 < -0,232 < 5,2302 < 5,232$.

б)

Все представленные числа являются положительными десятичными дробями. Для их сравнения будем поочередно сравнивать цифры в соответствующих разрядах слева направо, начиная с целой части.

Числа для сравнения: 0,41357...; 0,42; 0,042; 0,41333...

1. Целая часть у всех чисел равна 0.
2. Сравниваем десятые доли: у числа 0,042 это 0, у остальных — 4. Значит, 0,042 — наименьшее число.
3. Сравниваем оставшиеся числа: 0,41357...; 0,42; 0,41333... по сотым долям. У числа 0,42 это 2, у двух других — 1. Значит, 0,42 — наибольшее из этих трех.
4. Осталось сравнить 0,41357... и 0,41333... Первые три знака после запятой у них одинаковы (413). Сравниваем четвертый знак (десятитысячные): у первого числа это 5, у второго — 3. Так как $3 < 5$, то $0,41333... < 0,41357...$.

Собираем все числа в порядке возрастания.

Ответ: $0,042 < 0,41333... < 0,41357... < 0,42$.

в)

Чтобы сравнить числа, представленные в разных форматах (десятичные и обыкновенные дроби), удобнее всего привести их к одному виду. Переведем обыкновенные дроби в десятичные.

Исходный набор чисел: 0,2; 0,3; 0,4; $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{4}$.

Выполним преобразование:
$\frac{1}{2} = 0,5$
$\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0,333...$
$\frac{1}{4} = 0,25$

Теперь сравним полученный набор десятичных дробей: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,333...; 0,25.

Располагая их в порядке возрастания, получаем:
$0,2 < 0,25 < 0,3 < 0,333... < 0,4 < 0,5$.

Теперь заменим десятичные представления на исходные числа.

Ответ: $0,2 < \frac{1}{4} < 0,3 < \frac{1}{3} < 0,4 < \frac{1}{2}$.

г)

Все числа в данном наборе являются отрицательными. Правило сравнения отрицательных чисел гласит: из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Числа для сравнения: -0,7; -0,77; -0,78; -0,777...

Найдем модули этих чисел:
$|-0,7| = 0,7$
$|-0,77| = 0,77$
$|-0,78| = 0,78$
$|-0,777...| = 0,777...$

Теперь расположим модули в порядке возрастания. Для наглядности можно дополнить их нулями: 0,700...; 0,770...; 0,780...; 0,777...
Получаем следующую последовательность: $0,7 < 0,77 < 0,777... < 0,78$.

Для исходных отрицательных чисел порядок будет обратным.

Ответ: $-0,78 < -0,777... < -0,77 < -0,7$.