Номер 28, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.2 «Универсальное имя» действительных чисел. Глава 1. Неравенства - номер 28, страница 15.

28 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на нуль) есть число рациональное.

Образец. Докажем это утверждение для суммы. Возьмём рациональные числа $ \frac{p}{q} $ и $ \frac{r}{s} $ ($p, r, q, s$ — целые числа, $q \neq 0, s \neq 0$). Найдём их сумму: $ \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps+rq}{qs} $. Числа $ps+rq$ и $qs$ — целые числа (объясните почему). Следовательно, их частное $ \frac{ps+rq}{qs} $ есть рациональное число.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — целое число, не равное нулю ($n \neq 0$).

Пусть даны два произвольных рациональных числа: $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, r, q, s$ — целые числа, причём $q \neq 0$ и $s \neq 0$.

Сумма

Найдём сумму этих чисел: $a+b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + rq}{qs}$.

Числитель полученной дроби, $ps + rq$, является целым числом. Это объясняется тем, что множество целых чисел замкнуто относительно операций умножения и сложения: поскольку $p, q, r, s$ — целые числа, то их произведения $ps$ и $rq$ также являются целыми, и их сумма $ps + rq$ — тоже целое число.

Знаменатель, $qs$, является произведением двух ненулевых целых чисел ($q \neq 0$ и $s \neq 0$), а значит, также является ненулевым целым числом.

Таким образом, сумма $a+b$ представляет собой дробь с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, что по определению означает, что это рациональное число.

Ответ: сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Разность

Найдём разность этих чисел: $a-b = \frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{ps - rq}{qs}$.

Числитель $ps - rq$ является целым числом, так как произведения $ps$, $rq$ и их разность являются результатами операций над целыми числами. Знаменатель $qs$ является ненулевым целым числом, как было показано ранее. Следовательно, разность $a-b$ является рациональным числом.

Ответ: разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдём произведение этих чисел: $a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}$.

Числитель $pr$ является целым числом как произведение двух целых чисел. Знаменатель $qs$ является ненулевым целым числом. Следовательно, произведение $a \cdot b$ является рациональным числом.

Ответ: произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдём частное этих чисел, при условии что делитель $b = \frac{r}{s}$ не равен нулю. Это означает, что его числитель $r \neq 0$.

Тогда $a \div b = \frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} = \frac{ps}{qr}$.

Числитель $ps$ является целым числом. Знаменатель $qr$ является произведением двух ненулевых целых чисел ($q \neq 0$ и $r \neq 0$), поэтому он также является ненулевым целым числом. Следовательно, частное $a \div b$ является рациональным числом.

Ответ: частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на ноль) является рациональным числом.