Номер 23, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.2 «Универсальное имя» действительных чисел. Глава 1. Неравенства - номер 23, страница 15.

23 Сравните числа:

a) 0,53247... и 0,53147...;

б) -1,15 и -1,1485...;

в) 0,121212... и 0,12;

г) 0,5 и 0,494949...;

д) $\frac{2}{9}$ и 0,23;

е) $\sqrt{40}$ и 6,4;

ж) $\frac{3}{7}$ и 0,428;

з) $1 - \frac{5}{7}$ и $\sqrt{3}$.

0 1 2 3 4 5

A B

A B

(a)

а) Сравнить числа $0,53247...$ и $0,53147...$

Для сравнения десятичных дробей сравниваем их поразрядно слева направо.
Целые части обоих чисел равны 0.
Цифры в разряде десятых равны 5.
Цифры в разряде сотых равны 3.
Цифра в разряде тысячных у первого числа — 2, а у второго — 1.
Поскольку $2 > 1$, то первое число больше второго.

Ответ: $0,53247... > 0,53147...$

б) Сравнить числа $-1,15$ и $-1,1485...$

При сравнении отрицательных чисел большим является то число, модуль которого меньше.
Сравним модули данных чисел: $|-1,15| = 1,15$ и $|-1,1485...| = 1,1485...$.
Сравним $1,15$ и $1,1485...$ поразрядно. Цифра в разряде сотых у первого числа (5) больше, чем у второго (4).
Значит, $1,15 > 1,1485...$.
Так как модули соотносятся как $1,15 > 1,1485...$, для отрицательных чисел знак неравенства будет противоположным.

Ответ: $-1,15 < -1,1485...$

в) Сравнить числа $0,121212...$ и $0,12$

Первое число является бесконечной периодической дробью $0,(12)$. Второе число — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $0,120000...$.
Сравниваем поразрядно:
Первые две цифры после запятой (1 и 2) у обоих чисел совпадают.
Третья цифра после запятой у первого числа — 1, а у второго — 0.
Так как $1 > 0$, первое число больше.

Ответ: $0,121212... > 0,12$

г) Сравнить числа $0,5$ и $0,494949...$

Сравниваем числа поразрядно.
Цифра в разряде десятых у первого числа — 5, а у второго — 4.
Поскольку $5 > 4$, то первое число больше второго.

Ответ: $0,5 > 0,494949...$

д) Сравнить числа $\frac{2}{9}$ и $0,23$

Для сравнения преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.
$\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0,222... = 0,(2)$.
Теперь сравним $0,222...$ и $0,23$.
Цифра в разряде сотых у первого числа — 2, а у второго — 3.
Так как $2 < 3$, первое число меньше второго.

Ответ: $\frac{2}{9} < 0,23$

е) Сравнить числа $\sqrt{40}$ и $6,4$

Оба числа положительные, поэтому можно сравнить их квадраты. Если квадрат первого числа больше квадрата второго, то и само первое число больше второго.
$(\sqrt{40})^2 = 40$.
$(6,4)^2 = 6,4 \times 6,4 = 40,96$.
Так как $40 < 40,96$, то и $\sqrt{40} < 6,4$.

Ответ: $\sqrt{40} < 6,4$

ж) Сравнить числа $\frac{3}{7}$ и $0,428$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную, выполнив деление.
$\frac{3}{7} = 3 \div 7 \approx 0,428571...$
Сравним $0,428571...$ и $0,428$. Второе число можно представить как $0,428000...$.
Первые три цифры после запятой (4, 2, 8) совпадают.
Четвертая цифра у первого числа — 5, а у второго — 0.
Поскольку $5 > 0$, первое число больше.

Ответ: $\frac{3}{7} > 0,428$

з) Сравнить числа $1\frac{5}{7}$ и $\sqrt{3}$

Оба числа положительные, поэтому сравним их квадраты.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.
Возведем оба числа в квадрат:
$(1\frac{5}{7})^2 = (\frac{12}{7})^2 = \frac{12^2}{7^2} = \frac{144}{49}$.
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Теперь сравним дроби $\frac{144}{49}$ и $3$. Приведем $3$ к знаменателю 49: $3 = \frac{3 \cdot 49}{49} = \frac{147}{49}$.
Так как $144 < 147$, то $\frac{144}{49} < \frac{147}{49}$.
Следовательно, и исходные числа находятся в таком же соотношении.

Ответ: $1\frac{5}{7} < \sqrt{3}$