Номер 18, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.2 «Универсальное имя» действительных чисел. Глава 1. Неравенства - номер 18, страница 14.

18 Решите уравнение и укажите, рациональными или иррациональными являются его корни. Найдите приближённые значения иррациональных корней с одним знаком после запятой:

а) $25x^2 = 4;$

б) $10x^2 = 5;$

в) $16x^2 - 1 = 0;$

г) $9x^2 - 1 = 26;$

д) $0,6x^2 = 4,8;$

е) $0,96 = 1,5x^2.$

а) $25x^2 = 4$

Для решения уравнения разделим обе части на 25:
$x^2 = \frac{4}{25}$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$
$x = \pm \frac{2}{5}$
$x_1 = \frac{2}{5} = 0,4$ и $x_2 = -\frac{2}{5} = -0,4$.
Корни являются рациональными числами, так как их можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное.

Ответ: корни $x_1 = 0,4$ и $x_2 = -0,4$ являются рациональными.

б) $10x^2 = 5$

Разделим обе части уравнения на 10:
$x^2 = \frac{5}{10}$
$x^2 = \frac{1}{2}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Корни $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются иррациональными, так как $\sqrt{2}$ - иррациональное число.
Найдем их приближенные значения. Используем $\sqrt{2} \approx 1,414...$
$x \approx \pm \frac{1,414}{2} \approx \pm 0,707$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $x \approx \pm 0,7$.

Ответ: корни $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются иррациональными; $x_1 \approx 0,7$, $x_2 \approx -0,7$.

в) $16x^2 - 1 = 0$

Перенесем -1 в правую часть уравнения:
$16x^2 = 1$
Разделим обе части на 16:
$x^2 = \frac{1}{16}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$
$x = \pm \frac{1}{4}$
$x_1 = \frac{1}{4} = 0,25$ и $x_2 = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Корни являются рациональными числами.

Ответ: корни $x_1 = 0,25$ и $x_2 = -0,25$ являются рациональными.

г) $9x^2 - 1 = 26$

Перенесем -1 в правую часть:
$9x^2 = 26 + 1$
$9x^2 = 27$
Разделим обе части на 9:
$x^2 = \frac{27}{9}$
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{3}$
Корни $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ являются иррациональными.
Найдем их приближенные значения. Используем $\sqrt{3} \approx 1,732...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $x \approx \pm 1,7$.

Ответ: корни $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$ являются иррациональными; $x_1 \approx 1,7$, $x_2 \approx -1,7$.

д) $0,6x^2 = 4,8$

Разделим обе части уравнения на 0,6:
$x^2 = \frac{4,8}{0,6}$
$x^2 = \frac{48}{6}$
$x^2 = 8$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{8} = \pm \sqrt{4 \cdot 2} = \pm 2\sqrt{2}$
Корни $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$ являются иррациональными.
Найдем их приближенные значения. Используем $\sqrt{2} \approx 1,414...$
$x \approx \pm 2 \cdot 1,414 = \pm 2,828...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $x \approx \pm 2,8$.

Ответ: корни $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$ являются иррациональными; $x_1 \approx 2,8$, $x_2 \approx -2,8$.

е) $0,96 = 1,5x^2$

Запишем уравнение в более привычном виде: $1,5x^2 = 0,96$.
Разделим обе части на 1,5:
$x^2 = \frac{0,96}{1,5}$
$x^2 = \frac{96}{150}$
Сократим дробь на 6:
$x^2 = \frac{16}{25}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}}$
$x = \pm \frac{4}{5}$
$x_1 = \frac{4}{5} = 0,8$ и $x_2 = -\frac{4}{5} = -0,8$.
Корни являются рациональными числами.

Ответ: корни $x_1 = 0,8$ и $x_2 = -0,8$ являются рациональными.