Номер 11, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 11, страница 11.

11 Определите, какое из утверждений верно, а какое нет:

а) 1) Каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой.

2) Каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число.

б) 1) Каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой.

2) Каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число.

в) 1) Каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой.

2) Каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

а) 1) Каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой.

Рациональные числа являются подмножеством действительных чисел. Поскольку каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой, то и каждому рациональному числу (например, $5$, $-1/2$, $0.7$) соответствует своя уникальная точка на этой прямой. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: верно.

а) 2) Каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число.

Это утверждение неверно. Координатная прямая содержит точки, соответствующие не только рациональным, но и иррациональным числам. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби (например, $\sqrt{2}$, $\pi$). Точки, соответствующие этим числам, находятся на координатной прямой, но сами числа не являются рациональными. Следовательно, не каждой точке прямой соответствует рациональное число.

Ответ: неверно.

б) 1) Каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой.

Иррациональные числа, так же как и рациональные, являются подмножеством действительных чисел. Каждому действительному числу, включая иррациональные (например, $\sqrt{3}$, $e$, $\pi$), можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой. Утверждение верно.

Ответ: верно.

б) 2) Каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число.

Это утверждение неверно. Аналогично пункту а) 2), на координатной прямой существуют точки, которым соответствуют рациональные числа (например, точка с координатой 0, 1, -3). Таким образом, не каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число.

Ответ: неверно.

в) 1) Каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой.

Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) объединяет в себе все рациональные и иррациональные числа. Существует фундаментальный принцип, устанавливающий взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на координатной прямой. Это значит, что для каждого без исключения действительного числа есть своя точка на прямой. Утверждение верно.

Ответ: верно.

в) 2) Каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

Это вторая часть принципа о взаимно-однозначном соответствии. Она означает, что какую бы точку на координатной прямой мы ни выбрали, ей всегда будет соответствовать некоторое действительное число (ее координата). На прямой нет "пробелов" или точек, которым не соответствует никакое действительное число. Утверждение верно.

Ответ: верно.