Номер 9, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 9, страница 11.

9 Сравните:

a) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$; $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$; $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}};

в) $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$; $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}};

г) $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$; $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.

а) Сравним первую пару чисел: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Так как $3 < 5$, то и значения корней будут находиться в том же соотношении: $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.
Сравним вторую пару чисел: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$. Из предыдущего сравнения мы знаем, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-1$) знак неравенства меняется на противоположный. Следовательно, $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt{5}$; $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.

б) Сравним первую пару чисел: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Мы установили, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Так как оба числа положительны, то для обратных им величин будет справедливо обратное неравенство (функция $y=\frac{1}{x}$ является убывающей на промежутке $(0; +\infty)$). Таким образом, $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Сравним вторую пару чисел: $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$. Мы знаем, что $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$. Умножив обе части на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$; $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

в) Сравним первую пару чисел: $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$. Нам известно, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$. Теперь прибавим к обеим частям $1$, знак неравенства при этом не изменится: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$.
Сравним вторую пару чисел: $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$. Оба этих выражения отрицательны, так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{5} > 1$. Для отрицательных чисел функция $y=\frac{1}{x}$ является убывающей, поэтому для обратных величин знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.
Ответ: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$; $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.

г) Сравним первую пару чисел: $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$. Мы знаем, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Вычитая из обеих частей неравенства $1$, мы не меняем знак неравенства: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$.
Сравним вторую пару чисел: $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$. Из предыдущего сравнения имеем $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$. Оба этих выражения положительны, так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{5} > 1$. Функция $y=\frac{1}{x}$ является убывающей для положительных чисел, поэтому для обратных величин знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$; $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.