Номер 6, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 6, страница 10.

6 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)$;

б) $(3 - 2\sqrt{3})^2$;

в) $(2\sqrt{10})^2$;

г) $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$;

д) $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}}{6\sqrt{6}}$.

а) Чтобы определить значение выражения $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)$, воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{5}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$.
Число 4 является целым, а любое целое число является рациональным (его можно представить в виде дроби $\frac{4}{1}$).
Ответ: рациональное число.

б) Для упрощения выражения $(3-2\sqrt{3})^2$ применим формулу "квадрат разности": $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Здесь $a = 3$ и $b = 2\sqrt{3}$.
$(3-2\sqrt{3})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 9 - 12\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 9 - 12\sqrt{3} + 12 = 21 - 12\sqrt{3}$.
Полученное число $21 - 12\sqrt{3}$ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального числа (21) и иррационального числа ($12\sqrt{3}$).
Ответ: иррациональное число.

в) Чтобы найти значение выражения $(2\sqrt{10})^2$, воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
Число 40 является целым, следовательно, оно рациональное.
Ответ: рациональное число.

г) Упростим произведение $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$, используя свойство умножения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = 3\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3\sqrt{72}$.
Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Тогда все выражение равно $3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, то и произведение $18\sqrt{2}$ также иррационально.
Ответ: иррациональное число.

д) Упростим дробное выражение $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}}{6\sqrt{6}}$.
Сначала перемножим корни в числителе: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{3 \cdot 18} = \sqrt{54}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{\sqrt{54}}{6\sqrt{6}}$.
Воспользуемся свойством деления корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{54}}{6\sqrt{6}} = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{\frac{54}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{9} = \frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Число $\frac{1}{2}$ представлено в виде обыкновенной дроби, следовательно, оно является рациональным.
Ответ: рациональное число.