Номер 5, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 5, страница 10.

5 Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника и для каждой из них выясните, рациональным или иррациональным числом выражается её длина (рис. 1.3, а–г).

Рис. 1.3

а) В треугольнике ABC: $\angle B = 30^\circ$, $AC = 4$.

б) В треугольнике ABC: $\angle A = 45^\circ$, $AB = 2\sqrt{2}$.

в) В треугольнике ABC: $\angle A = 60^\circ$, $AB = 2$.

г) В треугольнике ABC: $\angle A = 45^\circ$, $AB = 10$.

а) Дан прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен $30^\circ$, а противолежащий ему катет равен 4. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, катет $AC = 4$, а угол $B = 30^\circ$.

Найдём гипотенузу AB. Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin(B) = \frac{AC}{AB} $. Отсюда гипотенуза $ AB = \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8 $.

Найдём второй катет BC. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Это нам известно ($AC=4, AB=8$). Второй острый угол $A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Катет BC противолежит углу A. Найдём его через синус угла A: $ \sin(A) = \frac{BC}{AB} $. Отсюда катет $ BC = AB \cdot \sin(A) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} $. Также можно было найти BC по теореме Пифагора: $ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $.

Длина стороны AB равна 8 — это целое число, следовательно, рациональное. Длина стороны BC равна $4\sqrt{3}$ — это иррациональное число, так как $\sqrt{3}$ иррационально.

Ответ: $AB = 8$ (рациональное число), $BC = 4\sqrt{3}$ (иррациональное число).

б) Дан прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $2\sqrt{2}$, а один из острых углов равен $45^\circ$. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, гипотенуза $AB = 2\sqrt{2}$, а угол $A = 45^\circ$.

Поскольку один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это значит, что треугольник равнобедренный, и его катеты равны: $AC = BC$.

Найдём катет AC. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos(A) = \frac{AC}{AB} $. Отсюда $ AC = AB \cdot \cos(A) = 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2 $.

Так как $AC = BC$, то $BC = 2$. Длины сторон AC и BC равны 2 — это целое число, следовательно, они обе являются рациональными числами.

Ответ: $AC = 2$ (рациональное число), $BC = 2$ (рациональное число).

в) Дан прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 2, а один из острых углов равен $60^\circ$. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, гипотенуза $AB = 2$, а угол $A = 60^\circ$.

Найдём катет AC, прилежащий к углу A. Используем определение косинуса: $ \cos(A) = \frac{AC}{AB} $. Отсюда $ AC = AB \cdot \cos(A) = 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Найдём катет BC, противолежащий углу A. Используем определение синуса: $ \sin(A) = \frac{BC}{AB} $. Отсюда $ BC = AB \cdot \sin(A) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $.

Длина стороны AC равна 1 — это целое число, следовательно, рациональное. Длина стороны BC равна $\sqrt{3}$ — это иррациональное число.

Ответ: $AC = 1$ (рациональное число), $BC = \sqrt{3}$ (иррациональное число).

г) Дан прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 10, а противолежащий ему угол равен $45^\circ$. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, катет $BC = 10$, а угол $A = 45^\circ$.

Так как один из острых углов равен $45^\circ$, треугольник является равнобедренным. Следовательно, катеты равны: $AC = BC = 10$.

Найдём гипотенузу AB. По теореме Пифагора: $ AB^2 = AC^2 + BC^2 $. $ AB = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} $.

Длина стороны AC равна 10 — это целое число, следовательно, рациональное. Длина стороны AB равна $10\sqrt{2}$ — это иррациональное число, так как $\sqrt{2}$ иррационально.

Ответ: $AC = 10$ (рациональное число), $AB = 10\sqrt{2}$ (иррациональное число).