Номер 7, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 7, страница 10.

7 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

б) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

в) $\frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3}$

г) $2 - \sqrt{3} + \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

а)

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, упростим его. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})$. Это формула разности квадратов: $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.

Теперь преобразуем все выражение: $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{5}) - \sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{7+\sqrt{35} - (7-\sqrt{35})}{2} = \frac{7+\sqrt{35}-7+\sqrt{35}}{2} = \frac{2\sqrt{35}}{2} = \sqrt{35}$.

Число $\sqrt{35}$ является иррациональным, так как 35 не является полным квадратом целого числа.

Ответ: иррациональное число.

б)

Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$, который по формуле разности квадратов равен $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.

Преобразуем выражение: $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(5+2\sqrt{15}+3) - (5-2\sqrt{15}+3)}{2} = \frac{(8+2\sqrt{15}) - (8-2\sqrt{15})}{2} = \frac{8+2\sqrt{15}-8+2\sqrt{15}}{2} = \frac{4\sqrt{15}}{2} = 2\sqrt{15}$.

Число $2\sqrt{15}$ является иррациональным, так как 15 не является полным квадратом целого числа.

Ответ: иррациональное число.

в)

Сначала упростим $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{2\sqrt{2}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{2\sqrt{2}+3}{2\sqrt{2}-3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)$. По формуле разности квадратов он равен $(2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1$.

Преобразуем выражение: $\frac{(2\sqrt{2}-3)^2 + (2\sqrt{2}+3)^2}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)} = \frac{(8-12\sqrt{2}+9) + (8+12\sqrt{2}+9)}{-1} = \frac{17-12\sqrt{2} + 17+12\sqrt{2}}{-1} = \frac{34}{-1} = -34$.

Число -34 является целым, а значит, и рациональным.

Ответ: рациональное число.

г)

Упростим сначала дробную часть выражения $\frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2-\sqrt{3})$: $\frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3}{2^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{-1+\sqrt{3}}{4-3} = -1+\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $2-\sqrt{3} + \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3} + (-1+\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3}-1+\sqrt{3} = 1$.

Число 1 является целым, а значит, и рациональным.

Ответ: рациональное число.