Номер 14, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 14, страница 11.

14 Разберите, как решена задача: «Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $ |x - 2| \le 5 $, и запишите его с помощью обозначений промежутков».

Решение. Переведём утверждение, записанное алгебраически, на геометрический язык: запись $ |x - 2| \le 5 $ означает, что расстояние от точки x до точки 2 не превосходит 5. Множество таких точек — это отрезок [-3; 7] (рис. 1.4).

Рассуждая таким же способом, изобразите на координатной прямой и запишите с помощью промежутков множество точек прямой, удовлетворяющих условию:

а) $ |x| \le 4; |x| \ge 4; $

б) $ |x - 1| \le 3; |x - 1| \ge 3; $

в) $ |x + 4| \le 2; |x + 4| \ge 2. $

а) $|x| \le 4$; $|x| \ge 4$

Рассмотрим неравенство $|x| \le 4$. Его можно представить как $|x - 0| \le 4$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $0$ не превышает $4$. Множество таких точек — это отрезок, концами которого являются точки, удаленные от $0$ на расстояние $4$. Левая граница: $0 - 4 = -4$. Правая граница: $0 + 4 = 4$. Таким образом, решением является отрезок $[-4; 4]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-4; 4]$

Рассмотрим неравенство $|x| \ge 4$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $0$ не меньше $4$. Это множество точек, которые находятся на расстоянии $4$ или более от точки $0$. Это объединение двух лучей: $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$

б) $|x - 1| \le 3$; $|x - 1| \ge 3$

Рассмотрим неравенство $|x - 1| \le 3$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $1$ не превышает $3$. Левая граница: $1 - 3 = -2$. Правая граница: $1 + 3 = 4$. Решением является отрезок $[-2; 4]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-2; 4]$

Рассмотрим неравенство $|x - 1| \ge 3$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $1$ не меньше $3$. Это объединение двух лучей: $(-\infty; -2]$ и $[4; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$

в) $|x + 4| \le 2$; $|x + 4| \ge 2$

Рассмотрим неравенство $|x + 4| \le 2$. Его можно переписать как $|x - (-4)| \le 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-4$ не превышает $2$. Левая граница: $-4 - 2 = -6$. Правая граница: $-4 + 2 = -2$. Решением является отрезок $[-6; -2]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-6; -2]$

Рассмотрим неравенство $|x + 4| \ge 2$, или $|x - (-4)| \ge 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-4$ не меньше $2$. Это объединение двух лучей: $(-\infty; -6]$ и $[-2; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [-2; +\infty)$