Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

8 Определите знак числа:

a) $2\sqrt{5} - 3$;

б) $2 - \sqrt{7}$;

в) $3\sqrt{3} - 5$;

г) $4 - 2\sqrt{3}$;

д) $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$.

а) Чтобы определить знак числа $2\sqrt{5} - 3$, необходимо сравнить уменьшаемое $2\sqrt{5}$ и вычитаемое $3$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты, или, что то же самое, внести множители под знак корня.

Внесем множитель 2 под знак корня: $2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.

Представим число 3 в виде корня: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

Теперь сравним $\sqrt{20}$ и $\sqrt{9}$. Поскольку $20 > 9$, то и $\sqrt{20} > \sqrt{9}$.

Это означает, что $2\sqrt{5} > 3$. Следовательно, разность $2\sqrt{5} - 3$ положительна.

Ответ: число положительное.

б) Чтобы определить знак числа $2 - \sqrt{7}$, сравним числа $2$ и $\sqrt{7}$.

Представим число 2 в виде корня: $2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$.

Теперь сравним $\sqrt{4}$ и $\sqrt{7}$. Так как $4 < 7$, то $\sqrt{4} < \sqrt{7}$.

Это означает, что $2 < \sqrt{7}$. Следовательно, разность $2 - \sqrt{7}$ отрицательна.

Ответ: число отрицательное.

в) Чтобы определить знак числа $3\sqrt{3} - 5$, сравним числа $3\sqrt{3}$ и $5$.

Внесем множитель 3 под знак корня: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Представим число 5 в виде корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

Сравниваем $\sqrt{27}$ и $\sqrt{25}$. Поскольку $27 > 25$, то $\sqrt{27} > \sqrt{25}$.

Это означает, что $3\sqrt{3} > 5$. Следовательно, разность $3\sqrt{3} - 5$ положительна.

Ответ: число положительное.

г) Чтобы определить знак числа $4 - 2\sqrt{3}$, сравним числа $4$ и $2\sqrt{3}$.

Представим число 4 в виде корня: $4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$.

Внесем множитель 2 под знак корня в выражении $2\sqrt{3}$: $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Сравниваем $\sqrt{16}$ и $\sqrt{12}$. Поскольку $16 > 12$, то $\sqrt{16} > \sqrt{12}$.

Это означает, что $4 > 2\sqrt{3}$. Следовательно, разность $4 - 2\sqrt{3}$ положительна.

Ответ: число положительное.

д) Чтобы определить знак числа $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$, сравним числа $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

Внесем множители под знак корня в обоих выражениях.

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Сравниваем $\sqrt{12}$ и $\sqrt{18}$. Поскольку $12 < 18$, то $\sqrt{12} < \sqrt{18}$.

Это означает, что $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$. Следовательно, разность $2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}$ отрицательна.

Ответ: число отрицательное.

9 Сравните:

a) $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$; $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$; $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}};

в) $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$; $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}};

г) $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$; $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.

а) Сравним первую пару чисел: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Так как $3 < 5$, то и значения корней будут находиться в том же соотношении: $\sqrt{3} < \sqrt{5}$.
Сравним вторую пару чисел: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{5}$. Из предыдущего сравнения мы знаем, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-1$) знак неравенства меняется на противоположный. Следовательно, $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{3} < \sqrt{5}$; $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$.

б) Сравним первую пару чисел: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Мы установили, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Так как оба числа положительны, то для обратных им величин будет справедливо обратное неравенство (функция $y=\frac{1}{x}$ является убывающей на промежутке $(0; +\infty)$). Таким образом, $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Сравним вторую пару чисел: $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{5}}$. Мы знаем, что $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$. Умножив обе части на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$; $-\frac{1}{\sqrt{3}} < -\frac{1}{\sqrt{5}}$.

в) Сравним первую пару чисел: $1 - \sqrt{3}$ и $1 - \sqrt{5}$. Нам известно, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$. Теперь прибавим к обеим частям $1$, знак неравенства при этом не изменится: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$.
Сравним вторую пару чисел: $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ и $\frac{1}{1 - \sqrt{5}}$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$. Оба этих выражения отрицательны, так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{5} > 1$. Для отрицательных чисел функция $y=\frac{1}{x}$ является убывающей, поэтому для обратных величин знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.
Ответ: $1 - \sqrt{3} > 1 - \sqrt{5}$; $\frac{1}{1 - \sqrt{3}} < \frac{1}{1 - \sqrt{5}}$.

г) Сравним первую пару чисел: $\sqrt{3} - 1$ и $\sqrt{5} - 1$. Мы знаем, что $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Вычитая из обеих частей неравенства $1$, мы не меняем знак неравенства: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$.
Сравним вторую пару чисел: $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ и $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$. Из предыдущего сравнения имеем $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$. Оба этих выражения положительны, так как $\sqrt{3} > 1$ и $\sqrt{5} > 1$. Функция $y=\frac{1}{x}$ является убывающей для положительных чисел, поэтому для обратных величин знак неравенства изменится на противоположный: $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1 < \sqrt{5} - 1$; $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} > \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$.

10 1) Какое из равенств верно: $ |2 - \sqrt{5}| = 2 - \sqrt{5} $ или $ |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 $?

2) Запишите без знака модуля:

а) $ |3 - \sqrt{11}| $;

б) $ |\sqrt{17} - 4| $;

в) $ |2\pi - 6| $;

г) $ |\frac{\pi}{2} - 2| $.

3) Упростите, используя равенство $ \sqrt{a^2} = |a| $:

а) $ \sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{7})^2} $;

б) $ \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2} $;

в) $ \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} $;

г) $ \sqrt{(\sqrt{26} - 5)^2} $.

1) Чтобы определить, какое из равенств верно, необходимо раскрыть модуль $|2 - \sqrt{5}|$. Для этого определим знак выражения под модулем. Сравним числа 2 и $\sqrt{5}$, возведя их в квадрат: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$, следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ отрицательна. По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно ($a < 0$), то $|a| = -a$. Таким образом, $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$. Значит, верным является второе равенство.
Ответ: $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$.

2) Для того чтобы записать выражения без знака модуля, необходимо определить знак подмодульного выражения.

а) Чтобы раскрыть модуль $|3 - \sqrt{11}|$, сравним 3 и $\sqrt{11}$. Возводим в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$. Так как $9 < 11$, то $3 < \sqrt{11}$, и разность $3 - \sqrt{11}$ отрицательна. Следовательно, $|3 - \sqrt{11}| = -(3 - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - 3$.
Ответ: $\sqrt{11} - 3$.

б) Чтобы раскрыть модуль $|\sqrt{17} - 4|$, сравним $\sqrt{17}$ и 4. Возводим в квадрат: $(\sqrt{17})^2 = 17$ и $4^2 = 16$. Так как $17 > 16$, то $\sqrt{17} > 4$, и разность $\sqrt{17} - 4$ положительна. Следовательно, $|\sqrt{17} - 4| = \sqrt{17} - 4$.
Ответ: $\sqrt{17} - 4$.

в) Чтобы раскрыть модуль $|2\pi - 6|$, сравним $2\pi$ и 6. Число $\pi \approx 3,14$, поэтому $\pi > 3$. Умножив обе части неравенства на 2, получаем $2\pi > 6$. Разность $2\pi - 6$ положительна. Следовательно, $|2\pi - 6| = 2\pi - 6$.
Ответ: $2\pi - 6$.

г) Чтобы раскрыть модуль $|\frac{\pi}{2} - 2|$, сравним $\frac{\pi}{2}$ и 2. Поскольку $\pi \approx 3,14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Так как $1,57 < 2$, то $\frac{\pi}{2} < 2$, и разность $\frac{\pi}{2} - 2$ отрицательна. Следовательно, $|\frac{\pi}{2} - 2| = -(\frac{\pi}{2} - 2) = 2 - \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $2 - \frac{\pi}{2}$.

3) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Затем раскрываем модуль, определяя знак подмодульного выражения.

а) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{7})^2} = |\sqrt{10} - \sqrt{7}|$. Так как $10 > 7$, то $\sqrt{10} > \sqrt{7}$, и выражение под модулем положительно. Значит, $|\sqrt{10} - \sqrt{7}| = \sqrt{10} - \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{7}$.

б) $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{10}|$. Так как $6 < 10$, то $\sqrt{6} < \sqrt{10}$, и выражение под модулем отрицательно. Значит, $|\sqrt{6} - \sqrt{10}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{6}$.

в) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$. Сравним 2 и $\sqrt{7}$: $2^2=4$, $(\sqrt{7})^2=7$. Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$, и выражение под модулем отрицательно. Значит, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$.

г) $\sqrt{(\sqrt{26} - 5)^2} = |\sqrt{26} - 5|$. Сравним $\sqrt{26}$ и 5: $(\sqrt{26})^2=26$, $5^2=25$. Так как $26 > 25$, то $\sqrt{26} > 5$, и выражение под модулем положительно. Значит, $|\sqrt{26} - 5| = \sqrt{26} - 5$.
Ответ: $\sqrt{26} - 5$.

11 Определите, какое из утверждений верно, а какое нет:

а) 1) Каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой.

2) Каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число.

б) 1) Каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой.

2) Каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число.

в) 1) Каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой.

2) Каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

а) 1) Каждому рациональному числу соответствует точка координатной прямой.

Рациональные числа являются подмножеством действительных чисел. Поскольку каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой, то и каждому рациональному числу (например, $5$, $-1/2$, $0.7$) соответствует своя уникальная точка на этой прямой. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: верно.

а) 2) Каждой точке координатной прямой соответствует рациональное число.

Это утверждение неверно. Координатная прямая содержит точки, соответствующие не только рациональным, но и иррациональным числам. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби (например, $\sqrt{2}$, $\pi$). Точки, соответствующие этим числам, находятся на координатной прямой, но сами числа не являются рациональными. Следовательно, не каждой точке прямой соответствует рациональное число.

Ответ: неверно.

б) 1) Каждому иррациональному числу соответствует точка координатной прямой.

Иррациональные числа, так же как и рациональные, являются подмножеством действительных чисел. Каждому действительному числу, включая иррациональные (например, $\sqrt{3}$, $e$, $\pi$), можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой. Утверждение верно.

Ответ: верно.

б) 2) Каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число.

Это утверждение неверно. Аналогично пункту а) 2), на координатной прямой существуют точки, которым соответствуют рациональные числа (например, точка с координатой 0, 1, -3). Таким образом, не каждой точке координатной прямой соответствует иррациональное число.

Ответ: неверно.

в) 1) Каждому действительному числу соответствует точка координатной прямой.

Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) объединяет в себе все рациональные и иррациональные числа. Существует фундаментальный принцип, устанавливающий взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на координатной прямой. Это значит, что для каждого без исключения действительного числа есть своя точка на прямой. Утверждение верно.

Ответ: верно.

в) 2) Каждой точке координатной прямой соответствует действительное число.

Это вторая часть принципа о взаимно-однозначном соответствии. Она означает, что какую бы точку на координатной прямой мы ни выбрали, ей всегда будет соответствовать некоторое действительное число (ее координата). На прямой нет "пробелов" или точек, которым не соответствует никакое действительное число. Утверждение верно.

Ответ: верно.

12 Найдите какое-нибудь рациональное и какое-нибудь иррациональное число, принадлежащее заданному промежутку; ответ запишите с помощью знака $\in$:

a) $[1; 4]$;

б) $(-2; 0)$;

в) $[3; +\infty)$;

г) $(-\infty; -10)$.

а)

Задан числовой промежуток $[1; 4]$. Это отрезок, включающий все числа от 1 до 4, включая сами концы.

В качестве рационального числа можно выбрать любое целое число из этого промежутка, например, 2. Также подойдёт любая конечная десятичная дробь, например, 1,5. Выберем число 2. Его принадлежность промежутку записывается так: $2 \in [1; 4]$.

В качестве иррационального числа можно выбрать число $\pi$, так как его приблизительное значение $\pi \approx 3,14159...$ находится между 1 и 4. Также подходит $\sqrt{2} \approx 1,414$ или $\sqrt{3} \approx 1,732$. Выберем число $\pi$. Его принадлежность промежутку записывается так: $\pi \in [1; 4]$.

Ответ: $2 \in [1; 4]$, $\pi \in [1; 4]$.

б)

Задан числовой промежуток $(-2; 0)$. Это интервал, включающий все числа между -2 и 0, не включая концы.

В качестве рационального числа можно выбрать целое число -1. Также можно выбрать дробное число, например, -0,5 или $-1/2$. Выберем число -1. Запишем его принадлежность промежутку: $-1 \in (-2; 0)$.

В качестве иррационального числа можно выбрать $-\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414$, то $-\sqrt{2} \approx -1,414$. Это значение находится в интервале от -2 до 0. Запишем его принадлежность промежутку: $-\sqrt{2} \in (-2; 0)$.

Ответ: $-1 \in (-2; 0)$, $-\sqrt{2} \in (-2; 0)$.

в)

Задан числовой промежуток $[3; +\infty)$. Это луч, включающий число 3 и все числа, большие 3.

В качестве рационального числа можно выбрать любое целое число, которое больше или равно 3, например, 3, 5 или 100. Выберем число 5. Его принадлежность промежутку: $5 \in [3; +\infty)$.

В качестве иррационального числа можно взять $\sqrt{10}$. Так как $3^2=9$, а $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$. Следовательно, это число принадлежит заданному промежутку. Также подходит число $\pi \approx 3,14$, так как оно больше 3. Выберем $\sqrt{10}$. Его принадлежность промежутку: $\sqrt{10} \in [3; +\infty)$.

Ответ: $5 \in [3; +\infty)$, $\sqrt{10} \in [3; +\infty)$.

г)

Задан числовой промежуток $(-\infty; -10)$. Это открытый луч, включающий все числа, строго меньшие -10.

В качестве рационального числа можно выбрать любое целое число, меньшее -10, например, -11 или -20. Выберем число -11. Его принадлежность промежутку: $-11 \in (-\infty; -10)$.

В качестве иррационального числа можно выбрать число, которое будет меньше -10. Например, $-4\pi$. Так как $\pi \approx 3,14$, то $-4\pi \approx -12,56$, что меньше -10. Также можно взять $-\sqrt{120}$. Так как $10^2=100$, а $120 > 100$, то $\sqrt{120} > 10$, и, соответственно, $-\sqrt{120} < -10$. Выберем $-4\pi$. Его принадлежность промежутку: $-4\pi \in (-\infty; -10)$.

Ответ: $-11 \in (-\infty; -10)$, $-4\pi \in (-\infty; -10)$.

13 Используя циркуль и линейку, отметьте на координатной прямой числа:

$\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2} - 1$ и $1 - \sqrt{2}$; $2\sqrt{2}$.

Подсказка. Используйте способ построения точки с координатой $\sqrt{2}$, показанный в тексте пункта.

Для выполнения построений сначала необходимо получить отрезок длиной $\sqrt{2}$. Этот отрезок будет использоваться для отметки всех заданных чисел на координатной прямой.

Построение отрезка длиной $\sqrt{2}$

1. С помощью линейки проведем координатную прямую $Ox$. Отметим на ней начало координат — точку $O$ (число 0) и единичный отрезок, отметив точку $A$ (число 1). Длина отрезка $OA$ равна 1.
2. В точке $A$ (с координатой 1) построим перпендикуляр к прямой $Ox$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AB$ длиной 1 (равный длине $OA$). Для этого установим раствор циркуля равным длине $OA$, поставим иглу циркуля в точку $A$ и проведем дугу, пересекающую перпендикуляр в точке $B$.
4. Соединим точки $O$ и $B$. Получим прямоугольный треугольник $OAB$, в котором катеты $OA$ и $AB$ равны 1.
5. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $OB$ равна: $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь, имея отрезок $OB$ длиной $\sqrt{2}$, мы можем отметить на координатной прямой все требуемые числа.

$\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$

1. Возьмем циркуль и установим его раствор равным длине гипотенузы $OB$, то есть $\sqrt{2}$.

2. Поставим иглу циркуля в начало координат, точку $O$ (число 0).

3. Проведем дугу так, чтобы она пересекла координатную прямую справа от точки $O$. Точка пересечения будет соответствовать числу $\sqrt{2}$.

4. Не меняя раствора циркуля, проведем дугу из той же точки $O$ так, чтобы она пересекла координатную прямую слева от точки $O$. Точка пересечения будет соответствовать числу $-\sqrt{2}$.

Ответ: Точка $\sqrt{2}$ строится откладыванием отрезка длиной $\sqrt{2}$ (гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1) от нуля вправо по координатной оси. Точка $-\sqrt{2}$ строится откладыванием того же отрезка от нуля влево.

$\sqrt{2} - 1$ и $1 - \sqrt{2}$

Для построения числа $\sqrt{2} - 1$:

1. Сначала построим на координатной прямой точку с координатой $\sqrt{2}$, как описано выше.

2. Возьмем циркуль и установим его раствор равным единичному отрезку $OA$ (длина 1).

3. Поставим иглу циркуля в точку с координатой $\sqrt{2}$ и проведем дугу, пересекающую координатную прямую левее этой точки. Точка пересечения будет соответствовать числу $\sqrt{2} - 1$.

Для построения числа $1 - \sqrt{2}$:

1. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $OB$ (длина $\sqrt{2}$).

2. Поставим иглу циркуля в точку с координатой 1.

3. Проведем дугу, пересекающую координатную прямую левее точки 1. Точка пересечения будет соответствовать числу $1 - \sqrt{2}$. (Заметим, что $1 - \sqrt{2} = -(\sqrt{2} - 1)$, то есть эти точки симметричны относительно начала координат).

Ответ: Точка $\sqrt{2} - 1$ строится откладыванием единичного отрезка влево от точки $\sqrt{2}$. Точка $1 - \sqrt{2}$ строится откладыванием отрезка длиной $\sqrt{2}$ влево от точки 1.

$2\sqrt{2}$

1. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $OB$ (длина $\sqrt{2}$).

2. Отложим этот отрезок от начала координат $O$ вправо, получив точку с координатой $\sqrt{2}$.

3. Теперь поставим иглу циркуля в полученную точку $\sqrt{2}$ и, не меняя раствора циркуля, отложим еще один такой же отрезок вправо. Новая точка пересечения с осью будет находиться на расстоянии $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ от начала координат.

Ответ: Точка $2\sqrt{2}$ строится последовательным откладыванием двух отрезков длиной $\sqrt{2}$ от начала координат вправо по координатной оси.

14 Разберите, как решена задача: «Изобразите на координатной прямой множество точек, координаты которых удовлетворяют условию $ |x - 2| \le 5 $, и запишите его с помощью обозначений промежутков».

Решение. Переведём утверждение, записанное алгебраически, на геометрический язык: запись $ |x - 2| \le 5 $ означает, что расстояние от точки x до точки 2 не превосходит 5. Множество таких точек — это отрезок [-3; 7] (рис. 1.4).

Рассуждая таким же способом, изобразите на координатной прямой и запишите с помощью промежутков множество точек прямой, удовлетворяющих условию:

а) $ |x| \le 4; |x| \ge 4; $

б) $ |x - 1| \le 3; |x - 1| \ge 3; $

в) $ |x + 4| \le 2; |x + 4| \ge 2. $

а) $|x| \le 4$; $|x| \ge 4$

Рассмотрим неравенство $|x| \le 4$. Его можно представить как $|x - 0| \le 4$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $0$ не превышает $4$. Множество таких точек — это отрезок, концами которого являются точки, удаленные от $0$ на расстояние $4$. Левая граница: $0 - 4 = -4$. Правая граница: $0 + 4 = 4$. Таким образом, решением является отрезок $[-4; 4]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-4; 4]$

Рассмотрим неравенство $|x| \ge 4$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $0$ не меньше $4$. Это множество точек, которые находятся на расстоянии $4$ или более от точки $0$. Это объединение двух лучей: $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$

б) $|x - 1| \le 3$; $|x - 1| \ge 3$

Рассмотрим неравенство $|x - 1| \le 3$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $1$ не превышает $3$. Левая граница: $1 - 3 = -2$. Правая граница: $1 + 3 = 4$. Решением является отрезок $[-2; 4]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-2; 4]$

Рассмотрим неравенство $|x - 1| \ge 3$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $1$ не меньше $3$. Это объединение двух лучей: $(-\infty; -2]$ и $[4; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$

в) $|x + 4| \le 2$; $|x + 4| \ge 2$

Рассмотрим неравенство $|x + 4| \le 2$. Его можно переписать как $|x - (-4)| \le 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-4$ не превышает $2$. Левая граница: $-4 - 2 = -6$. Правая граница: $-4 + 2 = -2$. Решением является отрезок $[-6; -2]$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in [-6; -2]$

Рассмотрим неравенство $|x + 4| \ge 2$, или $|x - (-4)| \ge 2$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-4$ не меньше $2$. Это объединение двух лучей: $(-\infty; -6]$ и $[-2; +\infty)$.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [-2; +\infty)$