Номер 13, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 13, страница 11.

13 Используя циркуль и линейку, отметьте на координатной прямой числа:

$\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2} - 1$ и $1 - \sqrt{2}$; $2\sqrt{2}$.

Подсказка. Используйте способ построения точки с координатой $\sqrt{2}$, показанный в тексте пункта.

Для выполнения построений сначала необходимо получить отрезок длиной $\sqrt{2}$. Этот отрезок будет использоваться для отметки всех заданных чисел на координатной прямой.

Построение отрезка длиной $\sqrt{2}$

1. С помощью линейки проведем координатную прямую $Ox$. Отметим на ней начало координат — точку $O$ (число 0) и единичный отрезок, отметив точку $A$ (число 1). Длина отрезка $OA$ равна 1.
2. В точке $A$ (с координатой 1) построим перпендикуляр к прямой $Ox$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AB$ длиной 1 (равный длине $OA$). Для этого установим раствор циркуля равным длине $OA$, поставим иглу циркуля в точку $A$ и проведем дугу, пересекающую перпендикуляр в точке $B$.
4. Соединим точки $O$ и $B$. Получим прямоугольный треугольник $OAB$, в котором катеты $OA$ и $AB$ равны 1.
5. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $OB$ равна: $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь, имея отрезок $OB$ длиной $\sqrt{2}$, мы можем отметить на координатной прямой все требуемые числа.

---

$\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$

1. Возьмем циркуль и установим его раствор равным длине гипотенузы $OB$, то есть $\sqrt{2}$.

2. Поставим иглу циркуля в начало координат, точку $O$ (число 0).

3. Проведем дугу так, чтобы она пересекла координатную прямую справа от точки $O$. Точка пересечения будет соответствовать числу $\sqrt{2}$.

4. Не меняя раствора циркуля, проведем дугу из той же точки $O$ так, чтобы она пересекла координатную прямую слева от точки $O$. Точка пересечения будет соответствовать числу $-\sqrt{2}$.

Ответ: Точка $\sqrt{2}$ строится откладыванием отрезка длиной $\sqrt{2}$ (гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1) от нуля вправо по координатной оси. Точка $-\sqrt{2}$ строится откладыванием того же отрезка от нуля влево.

$\sqrt{2} - 1$ и $1 - \sqrt{2}$

Для построения числа $\sqrt{2} - 1$:

1. Сначала построим на координатной прямой точку с координатой $\sqrt{2}$, как описано выше.

2. Возьмем циркуль и установим его раствор равным единичному отрезку $OA$ (длина 1).

3. Поставим иглу циркуля в точку с координатой $\sqrt{2}$ и проведем дугу, пересекающую координатную прямую левее этой точки. Точка пересечения будет соответствовать числу $\sqrt{2} - 1$.

Для построения числа $1 - \sqrt{2}$:

1. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $OB$ (длина $\sqrt{2}$).

2. Поставим иглу циркуля в точку с координатой 1.

3. Проведем дугу, пересекающую координатную прямую левее точки 1. Точка пересечения будет соответствовать числу $1 - \sqrt{2}$. (Заметим, что $1 - \sqrt{2} = -(\sqrt{2} - 1)$, то есть эти точки симметричны относительно начала координат).

Ответ: Точка $\sqrt{2} - 1$ строится откладыванием единичного отрезка влево от точки $\sqrt{2}$. Точка $1 - \sqrt{2}$ строится откладыванием отрезка длиной $\sqrt{2}$ влево от точки 1.

$2\sqrt{2}$

1. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $OB$ (длина $\sqrt{2}$).

2. Отложим этот отрезок от начала координат $O$ вправо, получив точку с координатой $\sqrt{2}$.

3. Теперь поставим иглу циркуля в полученную точку $\sqrt{2}$ и, не меняя раствора циркуля, отложим еще один такой же отрезок вправо. Новая точка пересечения с осью будет находиться на расстоянии $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ от начала координат.

Ответ: Точка $2\sqrt{2}$ строится последовательным откладыванием двух отрезков длиной $\sqrt{2}$ от начала координат вправо по координатной оси.