Номер 10, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 10, страница 11.

10 1) Какое из равенств верно: $ |2 - \sqrt{5}| = 2 - \sqrt{5} $ или $ |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 $?

2) Запишите без знака модуля:

а) $ |3 - \sqrt{11}| $;

б) $ |\sqrt{17} - 4| $;

в) $ |2\pi - 6| $;

г) $ |\frac{\pi}{2} - 2| $.

3) Упростите, используя равенство $ \sqrt{a^2} = |a| $:

а) $ \sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{7})^2} $;

б) $ \sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2} $;

в) $ \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} $;

г) $ \sqrt{(\sqrt{26} - 5)^2} $.

1) Чтобы определить, какое из равенств верно, необходимо раскрыть модуль $|2 - \sqrt{5}|$. Для этого определим знак выражения под модулем. Сравним числа 2 и $\sqrt{5}$, возведя их в квадрат: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$, следовательно, разность $2 - \sqrt{5}$ отрицательна. По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно ($a < 0$), то $|a| = -a$. Таким образом, $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$. Значит, верным является второе равенство.
Ответ: $|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$.

2) Для того чтобы записать выражения без знака модуля, необходимо определить знак подмодульного выражения.

а) Чтобы раскрыть модуль $|3 - \sqrt{11}|$, сравним 3 и $\sqrt{11}$. Возводим в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$. Так как $9 < 11$, то $3 < \sqrt{11}$, и разность $3 - \sqrt{11}$ отрицательна. Следовательно, $|3 - \sqrt{11}| = -(3 - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - 3$.
Ответ: $\sqrt{11} - 3$.

б) Чтобы раскрыть модуль $|\sqrt{17} - 4|$, сравним $\sqrt{17}$ и 4. Возводим в квадрат: $(\sqrt{17})^2 = 17$ и $4^2 = 16$. Так как $17 > 16$, то $\sqrt{17} > 4$, и разность $\sqrt{17} - 4$ положительна. Следовательно, $|\sqrt{17} - 4| = \sqrt{17} - 4$.
Ответ: $\sqrt{17} - 4$.

в) Чтобы раскрыть модуль $|2\pi - 6|$, сравним $2\pi$ и 6. Число $\pi \approx 3,14$, поэтому $\pi > 3$. Умножив обе части неравенства на 2, получаем $2\pi > 6$. Разность $2\pi - 6$ положительна. Следовательно, $|2\pi - 6| = 2\pi - 6$.
Ответ: $2\pi - 6$.

г) Чтобы раскрыть модуль $|\frac{\pi}{2} - 2|$, сравним $\frac{\pi}{2}$ и 2. Поскольку $\pi \approx 3,14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Так как $1,57 < 2$, то $\frac{\pi}{2} < 2$, и разность $\frac{\pi}{2} - 2$ отрицательна. Следовательно, $|\frac{\pi}{2} - 2| = -(\frac{\pi}{2} - 2) = 2 - \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $2 - \frac{\pi}{2}$.

3) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Затем раскрываем модуль, определяя знак подмодульного выражения.

а) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{7})^2} = |\sqrt{10} - \sqrt{7}|$. Так как $10 > 7$, то $\sqrt{10} > \sqrt{7}$, и выражение под модулем положительно. Значит, $|\sqrt{10} - \sqrt{7}| = \sqrt{10} - \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{7}$.

б) $\sqrt{(\sqrt{6} - \sqrt{10})^2} = |\sqrt{6} - \sqrt{10}|$. Так как $6 < 10$, то $\sqrt{6} < \sqrt{10}$, и выражение под модулем отрицательно. Значит, $|\sqrt{6} - \sqrt{10}| = -(\sqrt{6} - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{10} - \sqrt{6}$.

в) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$. Сравним 2 и $\sqrt{7}$: $2^2=4$, $(\sqrt{7})^2=7$. Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$, и выражение под модулем отрицательно. Значит, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$.

г) $\sqrt{(\sqrt{26} - 5)^2} = |\sqrt{26} - 5|$. Сравним $\sqrt{26}$ и 5: $(\sqrt{26})^2=26$, $5^2=25$. Так как $26 > 25$, то $\sqrt{26} > 5$, и выражение под модулем положительно. Значит, $|\sqrt{26} - 5| = \sqrt{26} - 5$.
Ответ: $\sqrt{26} - 5$.