Номер 20, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.2 «Универсальное имя» действительных чисел. Глава 1. Неравенства - номер 20, страница 14.

20 Выпишите десять знаков после запятой бесконечной десятичной дроби, представляющей число $\frac{11}{27}$. С какого знака после запятой начинают повторяться цифры в частном? Как вы думаете, какая цифра стоит на 12-м месте после запятой? на 16-м? на 20-м?

Выпишите десять знаков после запятой бесконечной десятичной дроби, представляющей число $\frac{11}{27}$.

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо разделить числитель на знаменатель. Выполним деление 11 на 27 столбиком.
$11 \div 27 = 0$ (целая часть равна нулю).
Далее делим $110$ на $27$. Получаем $4$ и остаток $110 - 4 \times 27 = 110 - 108 = 2$. Первая цифра после запятой — 4.
К остатку $2$ приписываем $0$, делим $20$ на $27$. Получаем $0$ и остаток $20$. Вторая цифра — 0.
К остатку $20$ приписываем $0$, делим $200$ на $27$. Получаем $7$ и остаток $200 - 7 \times 27 = 200 - 189 = 11$. Третья цифра — 7.
К остатку $11$ приписываем $0$, делим $110$ на $27$. Мы видим, что остаток $11$ повторился, значит, дальше цифры в частном будут повторяться.
Таким образом, мы получили бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом `407`:
$\frac{11}{27} = 0,407407407... = 0,(407)$.
Первые десять знаков после запятой: 4, 0, 7, 4, 0, 7, 4, 0, 7, 4.
Ответ: 4074074074.

С какого знака после запятой начинают повторяться цифры в частном?

Как было определено в предыдущем пункте, десятичное представление числа $\frac{11}{27}$ это $0,(407)$. Это чистая периодическая дробь, что означает, что повторение группы цифр (периода) `407` начинается сразу после запятой, то есть с первого знака.
Ответ: с первого.

Как вы думаете, какая цифра стоит на 12-м месте после запятой? на 16-м? на 20-м?

Период дроби $0,(407)$ состоит из 3 цифр. Чтобы определить, какая цифра стоит на $n$-м месте после запятой, нужно найти остаток от деления номера места $n$ на длину периода, то есть на 3.
- Если остаток от деления равен 1, на этом месте стоит первая цифра периода (4).
- Если остаток от деления равен 2, на этом месте стоит вторая цифра периода (0).
- Если остаток от деления равен 0 (то есть $n$ делится на 3 нацело), на этом месте стоит последняя (третья) цифра периода (7).

Найдем цифру на 12-м месте:
$12 \div 3 = 4$ с остатком 0. Так как остаток 0, на 12-м месте стоит третья цифра периода. Это цифра 7.

Найдем цифру на 16-м месте:
$16 \div 3 = 5$ с остатком 1. Так как остаток 1, на 16-м месте стоит первая цифра периода. Это цифра 4.

Найдем цифру на 20-м месте:
$20 \div 3 = 6$ с остатком 2. Так как остаток 2, на 20-м месте стоит вторая цифра периода. Это цифра 0.
Ответ: на 12-м месте стоит цифра 7, на 16-м месте — 4, на 20-м месте — 0.