Номер 27, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.2 «Универсальное имя» действительных чисел. Глава 1. Неравенства - номер 27, страница 15.

27 a) Расположите в порядке возрастания числа: $\frac{1}{8}$; 0,12; 0,121...; 0,1205...

б) Расположите в порядке убывания числа: $\frac{5}{8}$; 0,64; 0,601...; 0,6001...

а)

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо привести их к единому виду — десятичным дробям. Это позволит легко их сравнить.

1. Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{8}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125$.

2. Теперь у нас есть следующий ряд чисел для сравнения:
$0,125$; $0,12$; $0,121...$; $0,1205...$.

3. Сравнение десятичных дробей производят поразрядно, слева направо. Для удобства можно дополнить конечные дроби нулями справа.
Сравним числа по разрядам:
- Целая часть, десятые ($0,1...$) и сотые ($0,12...$) у всех чисел одинаковы.
- Сравним тысячные: у $0,12$ это 0 (так как $0,12 = 0,120$), у $0,1205...$ это 0, у $0,121...$ это 1, у $0,125$ это 5.
- Из этого следует, что числа, у которых в разряде тысячных стоит 0, меньше тех, у которых стоят 1 или 5.
- Теперь сравним числа с нулем в разряде тысячных: $0,12$ и $0,1205...$. Сравниваем их по следующему, десятитысячному, разряду. У $0,12$ ($0,1200$) он равен 0, а у $0,1205...$ он равен 5. Значит, $0,12 < 0,1205...$.

4. Собираем итоговую последовательность от наименьшего к наибольшему:
$0,12 < 0,1205... < 0,121... < 0,125$.

5. Заменяем $0,125$ на его исходное представление $\frac{1}{8}$ и записываем ответ.

Ответ: $0,12$; $0,1205...$; $0,121...$; $\frac{1}{8}$.

б)

Чтобы расположить числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), сначала приведем их все к виду десятичных дробей.

1. Переведем дробь $\frac{5}{8}$ в десятичную:
$\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0,625$.

2. Получаем ряд чисел для сравнения:
$0,625$; $0,64$; $0,601...$; $0,6001...$.

3. Сравним числа поразрядно, чтобы определить их порядок от большего к меньшему.
- Сравним разряд сотых (так как десятые у всех равны 6):
- $0,64$ (в разряде сотых: 4)
- $0,625$ (в разряде сотых: 2)
- $0,601...$ (в разряде сотых: 0)
- $0,6001...$ (в разряде сотых: 0)
- По разряду сотых сразу видно, что $0,64$ — самое большое число, а $0,625$ — следующее по величине, так как $4 > 2 > 0$.
- Теперь сравним два оставшихся числа: $0,601...$ и $0,6001...$. Их сотые равны 0, поэтому смотрим на тысячные. У $0,601...$ в разряде тысячных стоит 1, а у $0,6001...$ — 0. Следовательно, $0,601... > 0,6001...$.

4. Выстраиваем полную последовательность в порядке убывания:
$0,64 > 0,625 > 0,601... > 0,6001...$.

5. Заменяем десятичную дробь $0,625$ на исходную обыкновенную дробь $\frac{5}{8}$.

Ответ: $0,64$; $\frac{5}{8}$; $0,601...$; $0,6001...$.