Номер 29, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.2 «Универсальное имя» действительных чисел. Глава 1. Неравенства - номер 29, страница 15.

29. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное рационального числа $a$, при $a \neq 0$ и иррационального числа $\alpha$ есть число иррациональное.

Подсказка. Примените способ рассуждения от противного и воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения.

Для доказательства всех утверждений воспользуемся методом от противного. Этот метод заключается в том, что мы предполагаем обратное тому, что нужно доказать, и приходим к логическому противоречию. Также будем использовать тот факт, что множество рациональных чисел $ℚ$ замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Это означает, что результат этих операций над двумя рациональными числами всегда будет рациональным числом.

Пусть $a$ — рациональное число ($a \in ℚ$), причем $a \neq 0$, и $α$ — иррациональное число ($α \notin ℚ$).

Сумма

Предположим, что сумма $a + α$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $c$, то есть $c = a + α$, где $c \in ℚ$.

Выразим из этого равенства иррациональное число $α$:
$α = c - a$

В правой части этого равенства стоит разность двух рациональных чисел: $c$ и $a$. Результат вычитания рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, $c - a$ — рациональное число.

Таким образом, мы получили, что иррациональное число $α$ равно рациональному числу $c - a$. Это является противоречием, так как по условию $α$ — иррациональное число.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Ответ: Сумма $a + α$ является иррациональным числом.

Разность

Предположим, что разность $a - α$ является рациональным числом. Обозначим эту разность как $d$, то есть $d = a - α$, где $d \in ℚ$.

Выразим из этого равенства иррациональное число $α$:
$α = a - d$

В правой части этого равенства стоит разность двух рациональных чисел: $a$ и $d$. Результат этой операции также является рациональным числом.

Мы снова пришли к противоречию: иррациональное число $α$ равно рациональному числу $a - d$. Наше предположение неверно.

Аналогично доказывается для разности $α - a$. Если предположить, что $α - a = e$, где $e \in ℚ$, то $α = e + a$. Сумма двух рациональных чисел $e$ и $a$ рациональна, что снова ведет к противоречию.

Ответ: Разность между рациональным и иррациональным числом является иррациональным числом.

Произведение

Предположим, что произведение $a \cdot α$ является рациональным числом. Обозначим его как $p$, то есть $p = a \cdot α$, где $p \in ℚ$.

По условию, $a$ — рациональное число и $a \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $a$.

Выразим $α$:
$α = \frac{p}{a}$

В правой части стоит частное от деления рационального числа $p$ на ненулевое рациональное число $a$. Результат этой операции всегда является рациональным числом.

Получили противоречие: иррациональное число $α$ равно рациональному числу $\frac{p}{a}$. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Произведение ненулевого рационального числа $a$ и иррационального числа $α$ является иррациональным числом.

Частное

Рассмотрим два случая деления.

Случай 1: Частное $\frac{α}{a}$.

Предположим, что частное $\frac{α}{a}$ является рациональным числом. Обозначим его как $q_1$, где $q_1 \in ℚ$.
$\frac{α}{a} = q_1$

Выразим $α$:
$α = q_1 \cdot a$

В правой части стоит произведение двух рациональных чисел ($q_1$ и $a$), результат которого является рациональным числом. Мы снова получаем противоречие, так как иррациональное число $α$ оказалось равным рациональному.

Случай 2: Частное $\frac{a}{α}$.

Предположим, что частное $\frac{a}{α}$ является рациональным числом. Обозначим его как $q_2$, где $q_2 \in ℚ$.
$\frac{a}{α} = q_2$

Так как $a \neq 0$, то и $q_2 \neq 0$. Выразим из этого равенства $α$:
$α = \frac{a}{q_2}$

В правой части стоит частное от деления рационального числа $a$ на ненулевое рациональное число $q_2$. Результат этой операции является рациональным числом. Это также приводит к противоречию.

Ответ: Частное от деления ненулевого рационального числа $a$ и иррационального числа $α$ является иррациональным числом.