Страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

22 Принадлежит ли отрезку [1,57; 1,58] число:

а) 1,570001;

б) 1,5801;

в) $1\frac{4}{7}$;

г) $\sqrt{3}$;

д) $\sqrt{2,5}$;

е) $\sqrt{2,48}$;

ж) $\frac{\pi}{2}$?

Чтобы определить, принадлежит ли число $x$ отрезку $[1,57; 1,58]$, необходимо проверить выполнение двойного неравенства: $1,57 \le x \le 1,58$.

Сравниваем число 1,570001 с границами отрезка. Так как $1,57 < 1,570001$ и $1,570001 < 1,58$, двойное неравенство $1,57 \le 1,570001 \le 1,58$ выполняется. Следовательно, число принадлежит отрезку.
Ответ: Да, принадлежит.

Сравниваем число 1,5801 с границами отрезка. Так как $1,5801 > 1,58$, правая часть двойного неравенства $x \le 1,58$ не выполняется. Следовательно, число не принадлежит отрезку.
Ответ: Нет, не принадлежит.

Переведем смешанную дробь в десятичную. $1\frac{4}{7} = 1 + \frac{4}{7}$. Вычислим значение дроби: $\frac{4}{7} \approx 0,571428...$. Таким образом, $1\frac{4}{7} \approx 1,571428...$. Проверяем неравенство: $1,57 \le 1,571428... \le 1,58$. Оно выполняется. Следовательно, число принадлежит отрезку.
Ответ: Да, принадлежит.

Приблизительное значение корня $\sqrt{3} \approx 1,732$. Так как $1,732 > 1,58$, число $\sqrt{3}$ больше правой границы отрезка и, следовательно, не принадлежит ему.
Ответ: Нет, не принадлежит.

Чтобы проверить, принадлежит ли $\sqrt{2,5}$ отрезку, возведем в квадрат части неравенства $1,57 \le \sqrt{2,5} \le 1,58$. Получим $1,57^2 \le 2,5 \le 1,58^2$. Вычислим квадраты границ: $1,57^2 = 2,4649$ и $1,58^2 = 2,4964$. Проверяем неравенство: $2,4649 \le 2,5 \le 2,4964$. Оно неверно, так как $2,5 > 2,4964$. Следовательно, $\sqrt{2,5} > 1,58$, и число не принадлежит отрезку.
Ответ: Нет, не принадлежит.

Аналогично предыдущему пункту, проверяем неравенство $1,57^2 \le 2,48 \le 1,58^2$. Используя ранее вычисленные значения, получаем $2,4649 \le 2,48 \le 2,4964$. Это двойное неравенство верно, так как $2,4649 < 2,48$ и $2,48 < 2,4964$. Следовательно, число $\sqrt{2,48}$ принадлежит отрезку.
Ответ: Да, принадлежит.

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} \approx 1,570795$. Проверяем, выполняется ли неравенство $1,57 \le 1,570795 \le 1,58$. Оно выполняется, так как $1,57 < 1,570795$ и $1,570795 < 1,58$. Следовательно, число принадлежит отрезку.
Ответ: Да, принадлежит.

23 Сравните числа:

a) 0,53247... и 0,53147...;

б) -1,15 и -1,1485...;

в) 0,121212... и 0,12;

г) 0,5 и 0,494949...;

д) $\frac{2}{9}$ и 0,23;

е) $\sqrt{40}$ и 6,4;

ж) $\frac{3}{7}$ и 0,428;

з) $1 - \frac{5}{7}$ и $\sqrt{3}$.

0 1 2 3 4 5

A B

A B

(a)

а) Сравнить числа $0,53247...$ и $0,53147...$

Для сравнения десятичных дробей сравниваем их поразрядно слева направо.
Целые части обоих чисел равны 0.
Цифры в разряде десятых равны 5.
Цифры в разряде сотых равны 3.
Цифра в разряде тысячных у первого числа — 2, а у второго — 1.
Поскольку $2 > 1$, то первое число больше второго.

Ответ: $0,53247... > 0,53147...$

б) Сравнить числа $-1,15$ и $-1,1485...$

При сравнении отрицательных чисел большим является то число, модуль которого меньше.
Сравним модули данных чисел: $|-1,15| = 1,15$ и $|-1,1485...| = 1,1485...$.
Сравним $1,15$ и $1,1485...$ поразрядно. Цифра в разряде сотых у первого числа (5) больше, чем у второго (4).
Значит, $1,15 > 1,1485...$.
Так как модули соотносятся как $1,15 > 1,1485...$, для отрицательных чисел знак неравенства будет противоположным.

Ответ: $-1,15 < -1,1485...$

в) Сравнить числа $0,121212...$ и $0,12$

Первое число является бесконечной периодической дробью $0,(12)$. Второе число — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $0,120000...$.
Сравниваем поразрядно:
Первые две цифры после запятой (1 и 2) у обоих чисел совпадают.
Третья цифра после запятой у первого числа — 1, а у второго — 0.
Так как $1 > 0$, первое число больше.

Ответ: $0,121212... > 0,12$

г) Сравнить числа $0,5$ и $0,494949...$

Сравниваем числа поразрядно.
Цифра в разряде десятых у первого числа — 5, а у второго — 4.
Поскольку $5 > 4$, то первое число больше второго.

Ответ: $0,5 > 0,494949...$

д) Сравнить числа $\frac{2}{9}$ и $0,23$

Для сравнения преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.
$\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0,222... = 0,(2)$.
Теперь сравним $0,222...$ и $0,23$.
Цифра в разряде сотых у первого числа — 2, а у второго — 3.
Так как $2 < 3$, первое число меньше второго.

Ответ: $\frac{2}{9} < 0,23$

е) Сравнить числа $\sqrt{40}$ и $6,4$

Оба числа положительные, поэтому можно сравнить их квадраты. Если квадрат первого числа больше квадрата второго, то и само первое число больше второго.
$(\sqrt{40})^2 = 40$.
$(6,4)^2 = 6,4 \times 6,4 = 40,96$.
Так как $40 < 40,96$, то и $\sqrt{40} < 6,4$.

Ответ: $\sqrt{40} < 6,4$

ж) Сравнить числа $\frac{3}{7}$ и $0,428$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную, выполнив деление.
$\frac{3}{7} = 3 \div 7 \approx 0,428571...$
Сравним $0,428571...$ и $0,428$. Второе число можно представить как $0,428000...$.
Первые три цифры после запятой (4, 2, 8) совпадают.
Четвертая цифра у первого числа — 5, а у второго — 0.
Поскольку $5 > 0$, первое число больше.

Ответ: $\frac{3}{7} > 0,428$

з) Сравнить числа $1\frac{5}{7}$ и $\sqrt{3}$

Оба числа положительные, поэтому сравним их квадраты.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.
Возведем оба числа в квадрат:
$(1\frac{5}{7})^2 = (\frac{12}{7})^2 = \frac{12^2}{7^2} = \frac{144}{49}$.
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Теперь сравним дроби $\frac{144}{49}$ и $3$. Приведем $3$ к знаменателю 49: $3 = \frac{3 \cdot 49}{49} = \frac{147}{49}$.
Так как $144 < 147$, то $\frac{144}{49} < \frac{147}{49}$.
Следовательно, и исходные числа находятся в таком же соотношении.

Ответ: $1\frac{5}{7} < \sqrt{3}$

0,5 и 0,494949...;

3) $1\frac{1}{7}$ и $\sqrt{3}$.

24

Определите, какое число соответствует точке А и какое — точке B, если этими точками отмечены два из следующих чисел:

a) 1,5; $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$; $\sqrt{10}$ (рис. 1.6, a);

б) $\frac{\pi}{2}$; $\frac{2\pi}{3}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{2}{3}$ (рис. 1.6, б).

Puc. 1.6

A B

C D

В задаче требуется определить, какие из предложенных чисел соответствуют точкам А и В, отмеченным на числовой прямой. Задача разделена на два пункта: а) и б). Каждому пункту соответствует свой набор чисел и, предположительно, свой рисунок.

Для решения этого пункта необходимо изображение «рис. 1.6, а», на котором показано расположение точек A и B для набора чисел $1,5$; $\sqrt{3}$; $\sqrt{5}$; $\sqrt{10}$. Предоставленное изображение с числовой прямой относится к пункту «б», о чем свидетельствует пометка «б» в кружке рядом с рисунком.

Проанализируем числа, предложенные в пункте «а»:

• $1,5$
• $\sqrt{3} \approx 1,732$
• $\sqrt{5} \approx 2,236$
• $\sqrt{10} \approx 3,162$

Все эти числа больше 1. На предоставленном рисунке для пункта «б» точка A находится в интервале $(0, 1)$, поэтому данный рисунок не может быть использован для решения пункта «а». Без соответствующего изображения «рис. 1.6, а» однозначно определить, какие из чисел соответствуют точкам A и B, невозможно.

Ответ: Решение невозможно без изображения «рис. 1.6, а».

Рассмотрим числовую прямую, показанную на рисунке (рис. 1.6, б), и предложенный набор чисел: $\frac{\pi}{2}$; $\frac{2\pi}{3}$; $\frac{3}{2}$; $\frac{2}{3}$.

Сначала определим примерное расположение точек А и В по рисунку:

• Точка А расположена на интервале $(0, 1)$. Визуально она находится правее середины отрезка $[0, 1]$, то есть координата точки А больше 0,5.
• Точка В расположена на интервале $(2, 3)$. Визуально она находится очень близко к числу 2, то есть ее координата лишь немного больше 2.

Теперь оценим значения предложенных чисел, используя приближение $\pi \approx 3,14$:

1. $\frac{2}{3} = 0,666... = 0.\overline{6}$. Это число находится в интервале $(0, 1)$ и больше 0,5. Оно хорошо подходит для точки А.
2. $\frac{3}{2} = 1,5$. Это число находится в интервале $(1, 2)$. В этом интервале нет ни точки А, ни точки В.
3. $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Это число также находится в интервале $(1, 2)$, где нет отмеченных точек.
4. $\frac{2\pi}{3} \approx \frac{2 \times 3,14}{3} = \frac{6,28}{3} \approx 2,093$. Это число находится в интервале $(2, 3)$ и близко к 2. Оно хорошо подходит для точки B.

Сопоставляя значения чисел с расположением точек, мы приходим к выводу, что точка А соответствует числу $\frac{2}{3}$, а точка В — числу $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: A — это $\frac{2}{3}$, B — это $\frac{2\pi}{3}$.

б) $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{2}{3}$ (рис. 1.6, б).

25

На координатной прямой (рис. 1.7) точками A, B, C и D отмечены числа $\frac{4}{9}$, 0,409; -0,409; -0,4905. Определите координаты каждой точки.

Рис. 1.7

Для того чтобы определить координаты каждой точки, необходимо сравнить данные числа и сопоставить их с расположением точек на координатной прямой. Из рисунка видно, что точки A и B соответствуют отрицательным числам, а точки C и D — положительным, так как они расположены слева и справа от нуля соответственно.

Сначала сравним положительные числа: $\frac{4}{9}$ и $0,409$. Точки C и D расположены правее нуля, причем C левее D, что означает, что координата точки C меньше координаты точки D. Для сравнения чисел, представим обыкновенную дробь $\frac{4}{9}$ в виде десятичной: $\frac{4}{9} = 4 \div 9 = 0,444...$ Сравнивая $0,444...$ и $0,409$, видим, что $0,444... > 0,409$. Следовательно, меньшее число $0,409$ соответствует точке C, а большее число $\frac{4}{9}$ — точке D.

Теперь сравним отрицательные числа: $-0,409$ и $-0,4905$. Точки A и B расположены левее нуля, причем A левее B, что означает, что координата точки A меньше координаты точки B. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним их модули: $|-0,409| = 0,409$ и $|-0,4905| = 0,4905$. Так как $0,4905 > 0,409$, то $-0,4905 < -0,409$. Следовательно, меньшее число $-0,4905$ соответствует точке A, а большее число $-0,409$ — точке B.

Исходя из проведенного анализа, определим координаты каждой точки.

A
Точке A, как самой левой на координатной прямой, соответствует наименьшее из всех чисел.
Ответ: $-0,4905$

B
Точке B соответствует большее из двух отрицательных чисел.
Ответ: $-0,409$

C
Точке C соответствует меньшее из двух положительных чисел.
Ответ: $0,409$

D
Точке D, как самой правой на координатной прямой, соответствует наибольшее из всех чисел.
Ответ: $\frac{4}{9}$

26 Найдите наименьшее из следующих чисел:

а) $0,7; \frac{7}{9}; \frac{9}{7}; \frac{4}{5};$

б) $0,8; \frac{8}{9}; \frac{9}{8}; \frac{3}{5}.$

а)

Чтобы найти наименьшее из чисел $0,7$; $\frac{7}{9}$; $\frac{9}{7}$; $\frac{4}{5}$, необходимо сравнить их. Наиболее удобный способ для этого — представить все числа в виде десятичных дробей.

1. Число $0,7$ уже является десятичной дробью.

2. Переведем обыкновенную дробь $\frac{7}{9}$ в десятичную путем деления числителя на знаменатель: $7 \div 9 = 0,777... = 0,(7)$.

3. Дробь $\frac{9}{7}$ является неправильной, так как ее числитель больше знаменателя. Это означает, что ее значение больше 1. $9 \div 7 \approx 1,286$. Поскольку остальные числа меньше 1, это число не может быть наименьшим.

4. Переведем обыкновенную дробь $\frac{4}{5}$ в десятичную: $4 \div 5 = 0,8$.

Теперь сравним полученные десятичные значения: $0,7$; $0,777...$; $\approx 1,286$; $0,8$.

Сравнивая числа, которые меньше 1, получаем неравенство: $0,7 < 0,777... < 0,8$.

Следовательно, наименьшее число из предложенного набора — это $0,7$.

Ответ: $0,7$.

б)

Чтобы найти наименьшее из чисел $0,8$; $\frac{8}{9}$; $\frac{9}{8}$; $\frac{3}{5}$, мы также приведем их к виду десятичных дробей для удобства сравнения.

1. Число $0,8$ уже представлено в виде десятичной дроби.

2. Преобразуем дробь $\frac{8}{9}$ в десятичную: $8 \div 9 = 0,888... = 0,(8)$.

3. Дробь $\frac{9}{8}$ является неправильной и ее значение больше 1: $9 \div 8 = 1,125$. Это число заведомо не является наименьшим в данном наборе, так как остальные числа меньше 1.

4. Преобразуем дробь $\frac{3}{5}$ в десятичную: $3 \div 5 = 0,6$.

Теперь сравним полученные десятичные дроби: $0,8$; $0,888...$; $1,125$; $0,6$.

Сравнивая эти числа, легко определить, что наименьшим является $0,6$.

Расположим числа в порядке возрастания, чтобы наглядно увидеть результат: $0,6 < 0,8 < 0,888... < 1,125$.

Таким образом, наименьшее число — это $0,6$, что соответствует дроби $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

27 a) Расположите в порядке возрастания числа: $\frac{1}{8}$; 0,12; 0,121...; 0,1205...

б) Расположите в порядке убывания числа: $\frac{5}{8}$; 0,64; 0,601...; 0,6001...

а)

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо привести их к единому виду — десятичным дробям. Это позволит легко их сравнить.

1. Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{8}$ в десятичную. Для этого разделим числитель на знаменатель:
$\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125$.

2. Теперь у нас есть следующий ряд чисел для сравнения:
$0,125$; $0,12$; $0,121...$; $0,1205...$.

3. Сравнение десятичных дробей производят поразрядно, слева направо. Для удобства можно дополнить конечные дроби нулями справа.
Сравним числа по разрядам:
- Целая часть, десятые ($0,1...$) и сотые ($0,12...$) у всех чисел одинаковы.
- Сравним тысячные: у $0,12$ это 0 (так как $0,12 = 0,120$), у $0,1205...$ это 0, у $0,121...$ это 1, у $0,125$ это 5.
- Из этого следует, что числа, у которых в разряде тысячных стоит 0, меньше тех, у которых стоят 1 или 5.
- Теперь сравним числа с нулем в разряде тысячных: $0,12$ и $0,1205...$. Сравниваем их по следующему, десятитысячному, разряду. У $0,12$ ($0,1200$) он равен 0, а у $0,1205...$ он равен 5. Значит, $0,12 < 0,1205...$.

4. Собираем итоговую последовательность от наименьшего к наибольшему:
$0,12 < 0,1205... < 0,121... < 0,125$.

5. Заменяем $0,125$ на его исходное представление $\frac{1}{8}$ и записываем ответ.

Ответ: $0,12$; $0,1205...$; $0,121...$; $\frac{1}{8}$.

б)

Чтобы расположить числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), сначала приведем их все к виду десятичных дробей.

1. Переведем дробь $\frac{5}{8}$ в десятичную:
$\frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0,625$.

2. Получаем ряд чисел для сравнения:
$0,625$; $0,64$; $0,601...$; $0,6001...$.

3. Сравним числа поразрядно, чтобы определить их порядок от большего к меньшему.
- Сравним разряд сотых (так как десятые у всех равны 6):
- $0,64$ (в разряде сотых: 4)
- $0,625$ (в разряде сотых: 2)
- $0,601...$ (в разряде сотых: 0)
- $0,6001...$ (в разряде сотых: 0)
- По разряду сотых сразу видно, что $0,64$ — самое большое число, а $0,625$ — следующее по величине, так как $4 > 2 > 0$.
- Теперь сравним два оставшихся числа: $0,601...$ и $0,6001...$. Их сотые равны 0, поэтому смотрим на тысячные. У $0,601...$ в разряде тысячных стоит 1, а у $0,6001...$ — 0. Следовательно, $0,601... > 0,6001...$.

4. Выстраиваем полную последовательность в порядке убывания:
$0,64 > 0,625 > 0,601... > 0,6001...$.

5. Заменяем десятичную дробь $0,625$ на исходную обыкновенную дробь $\frac{5}{8}$.

Ответ: $0,64$; $\frac{5}{8}$; $0,601...$; $0,6001...$.

28 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на нуль) есть число рациональное.

Образец. Докажем это утверждение для суммы. Возьмём рациональные числа $ \frac{p}{q} $ и $ \frac{r}{s} $ ($p, r, q, s$ — целые числа, $q \neq 0, s \neq 0$). Найдём их сумму: $ \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps+rq}{qs} $. Числа $ps+rq$ и $qs$ — целые числа (объясните почему). Следовательно, их частное $ \frac{ps+rq}{qs} $ есть рациональное число.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — целое число, не равное нулю ($n \neq 0$).

Пусть даны два произвольных рациональных числа: $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$, где $p, r, q, s$ — целые числа, причём $q \neq 0$ и $s \neq 0$.

Сумма

Найдём сумму этих чисел: $a+b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + rq}{qs}$.

Числитель полученной дроби, $ps + rq$, является целым числом. Это объясняется тем, что множество целых чисел замкнуто относительно операций умножения и сложения: поскольку $p, q, r, s$ — целые числа, то их произведения $ps$ и $rq$ также являются целыми, и их сумма $ps + rq$ — тоже целое число.

Знаменатель, $qs$, является произведением двух ненулевых целых чисел ($q \neq 0$ и $s \neq 0$), а значит, также является ненулевым целым числом.

Таким образом, сумма $a+b$ представляет собой дробь с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, что по определению означает, что это рациональное число.

Ответ: сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Разность

Найдём разность этих чисел: $a-b = \frac{p}{q} - \frac{r}{s} = \frac{ps - rq}{qs}$.

Числитель $ps - rq$ является целым числом, так как произведения $ps$, $rq$ и их разность являются результатами операций над целыми числами. Знаменатель $qs$ является ненулевым целым числом, как было показано ранее. Следовательно, разность $a-b$ является рациональным числом.

Ответ: разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдём произведение этих чисел: $a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs}$.

Числитель $pr$ является целым числом как произведение двух целых чисел. Знаменатель $qs$ является ненулевым целым числом. Следовательно, произведение $a \cdot b$ является рациональным числом.

Ответ: произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдём частное этих чисел, при условии что делитель $b = \frac{r}{s}$ не равен нулю. Это означает, что его числитель $r \neq 0$.

Тогда $a \div b = \frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} = \frac{ps}{qr}$.

Числитель $ps$ является целым числом. Знаменатель $qr$ является произведением двух ненулевых целых чисел ($q \neq 0$ и $r \neq 0$), поэтому он также является ненулевым целым числом. Следовательно, частное $a \div b$ является рациональным числом.

Ответ: частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на ноль) является рациональным числом.

29. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное рационального числа $a$, при $a \neq 0$ и иррационального числа $\alpha$ есть число иррациональное.

Подсказка. Примените способ рассуждения от противного и воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения.

Для доказательства всех утверждений воспользуемся методом от противного. Этот метод заключается в том, что мы предполагаем обратное тому, что нужно доказать, и приходим к логическому противоречию. Также будем использовать тот факт, что множество рациональных чисел $ℚ$ замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Это означает, что результат этих операций над двумя рациональными числами всегда будет рациональным числом.

Пусть $a$ — рациональное число ($a \in ℚ$), причем $a \neq 0$, и $α$ — иррациональное число ($α \notin ℚ$).

Сумма

Предположим, что сумма $a + α$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $c$, то есть $c = a + α$, где $c \in ℚ$.

Выразим из этого равенства иррациональное число $α$:
$α = c - a$

В правой части этого равенства стоит разность двух рациональных чисел: $c$ и $a$. Результат вычитания рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, $c - a$ — рациональное число.

Таким образом, мы получили, что иррациональное число $α$ равно рациональному числу $c - a$. Это является противоречием, так как по условию $α$ — иррациональное число.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.

Ответ: Сумма $a + α$ является иррациональным числом.

Разность

Предположим, что разность $a - α$ является рациональным числом. Обозначим эту разность как $d$, то есть $d = a - α$, где $d \in ℚ$.

Выразим из этого равенства иррациональное число $α$:
$α = a - d$

В правой части этого равенства стоит разность двух рациональных чисел: $a$ и $d$. Результат этой операции также является рациональным числом.

Мы снова пришли к противоречию: иррациональное число $α$ равно рациональному числу $a - d$. Наше предположение неверно.

Аналогично доказывается для разности $α - a$. Если предположить, что $α - a = e$, где $e \in ℚ$, то $α = e + a$. Сумма двух рациональных чисел $e$ и $a$ рациональна, что снова ведет к противоречию.

Ответ: Разность между рациональным и иррациональным числом является иррациональным числом.

Произведение

Предположим, что произведение $a \cdot α$ является рациональным числом. Обозначим его как $p$, то есть $p = a \cdot α$, где $p \in ℚ$.

По условию, $a$ — рациональное число и $a \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $a$.

Выразим $α$:
$α = \frac{p}{a}$

В правой части стоит частное от деления рационального числа $p$ на ненулевое рациональное число $a$. Результат этой операции всегда является рациональным числом.

Получили противоречие: иррациональное число $α$ равно рациональному числу $\frac{p}{a}$. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Произведение ненулевого рационального числа $a$ и иррационального числа $α$ является иррациональным числом.

Частное

Рассмотрим два случая деления.

Случай 1: Частное $\frac{α}{a}$.

Предположим, что частное $\frac{α}{a}$ является рациональным числом. Обозначим его как $q_1$, где $q_1 \in ℚ$.
$\frac{α}{a} = q_1$

Выразим $α$:
$α = q_1 \cdot a$

В правой части стоит произведение двух рациональных чисел ($q_1$ и $a$), результат которого является рациональным числом. Мы снова получаем противоречие, так как иррациональное число $α$ оказалось равным рациональному.

Случай 2: Частное $\frac{a}{α}$.

Предположим, что частное $\frac{a}{α}$ является рациональным числом. Обозначим его как $q_2$, где $q_2 \in ℚ$.
$\frac{a}{α} = q_2$

Так как $a \neq 0$, то и $q_2 \neq 0$. Выразим из этого равенства $α$:
$α = \frac{a}{q_2}$

В правой части стоит частное от деления рационального числа $a$ на ненулевое рациональное число $q_2$. Результат этой операции является рациональным числом. Это также приводит к противоречию.

Ответ: Частное от деления ненулевого рационального числа $a$ и иррационального числа $α$ является иррациональным числом.

30 Приведите примеры, показывающие, что сумма, разность, произведение и частное двух иррациональных чисел могут быть как иррациональным, так и рациональным числом.

Сумма

Сумма двух иррациональных чисел может быть иррациональным числом. Например, сумма иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ равна $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, что является иррациональным числом.
В то же время, сумма может быть и рациональным числом. Например, сумма иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ равна $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$, что является рациональным числом.

Ответ: Примеры для суммы: иррациональный результат $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ и рациональный результат $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$.

Разность

Разность двух иррациональных чисел может быть иррациональным числом. Например, разность иррациональных чисел $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$ равна $2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$, что является иррациональным числом.
Однако, разность может быть и рациональным числом. Например, разность двух одинаковых иррациональных чисел $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ равна $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$, что является рациональным числом.

Ответ: Примеры для разности: иррациональный результат $2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5}$ и рациональный результат $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$.

Произведение

Произведение двух иррациональных чисел может быть иррациональным числом. Например, произведение иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ равно $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$, что является иррациональным числом.
С другой стороны, произведение может быть рациональным. Например, произведение иррационального числа $\sqrt{7}$ на само себя равно $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$, что является рациональным числом.

Ответ: Примеры для произведения: иррациональный результат $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ и рациональный результат $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$.

Частное

Частное двух иррациональных чисел может быть иррациональным числом. Например, частное от деления иррациональных чисел $\sqrt{10}$ на $\sqrt{2}$ равно $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$, что является иррациональным числом.
При этом частное может быть и рациональным. Например, частное от деления иррациональных чисел $3\sqrt{2}$ на $\sqrt{2}$ равно $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$, что является рациональным числом.

Ответ: Примеры для частного: иррациональный результат $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$ и рациональный результат $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$.