Страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Выберите из чисел -1; 0; $\sqrt{17}$; $-\sqrt{16}$; 1,79; $-2\pi$; 86; 120; $-\frac{1}{12}$; $\sqrt{5} - \sqrt{3}$; 0,002:

а) натуральные числа;

б) целые числа;

в) рациональные числа;

г) отрицательные рациональные числа;

д) иррациональные числа;

е) положительные действительные числа.

а) натуральные числа

Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счёте (1, 2, 3, ...). Из данного списка к ним относятся 86 и 120.

Ответ: 86; 120.

б) целые числа

Целые числа — это множество, включающее натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Из списка выбираем: $-1$; $0$; $-\sqrt{16}$ (поскольку $\sqrt{16}=4$, то $-\sqrt{16}=-4$); 86; 120.

Ответ: -1; 0; $-\sqrt{16}$; 86; 120.

в) рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби. Из списка выбираем: $-1$; $0$; $-\sqrt{16}$ (так как это $-4$); $1,79$ (так как $1,79 = \frac{179}{100}$); 86; 120; $-\frac{1}{12}$; $0,002$ (так как $0,002 = \frac{2}{1000}$).

Ответ: -1; 0; $-\sqrt{16}$; 1,79; 86; 120; $-\frac{1}{12}$; 0,002.

г) отрицательные рациональные числа

Это рациональные числа, которые меньше нуля. Из множества рациональных чисел, найденных в предыдущем пункте, выбираем отрицательные: $-1$; $-\sqrt{16}$ (то есть $-4$); $-\frac{1}{12}$.

Ответ: -1; $-\sqrt{16}$; $-\frac{1}{12}$.

д) иррациональные числа

Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными, то есть не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Из списка выбираем: $\sqrt{17}$ (17 не является квадратом целого числа); $-2\pi$ (число $\pi$ иррационально); $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ (разность двух иррациональных чисел, которая в данном случае также иррациональна).

Ответ: $\sqrt{17}$; $-2\pi$; $\sqrt{5} - \sqrt{3}$.

е) положительные действительные числа

Действительные числа включают в себя и рациональные, и иррациональные числа. Положительные действительные числа — это все действительные числа, которые строго больше нуля. Из исходного списка выбираем все положительные числа: $\sqrt{17}$ (корень из положительного числа положителен); $1,79$; 86; 120; $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ (поскольку $5 > 3$, то $\sqrt{5} > \sqrt{3}$, и их разность положительна); $0,002$.

Ответ: $\sqrt{17}$; 1,79; 86; 120; $\sqrt{5} - \sqrt{3}$; 0,002.

Определите, верно или неверно утверждение, объясните свой ответ:

а) всякое натуральное число является целым;

б) всякое целое число является натуральным;

в) всякое целое число является рациональным;

г) всякое рациональное число является действительным;

д) всякое действительное число является рациональным;

е) всякое иррациональное число является действительным.

а) всякое натуральное число является целым;

Утверждение верно. Множество натуральных чисел ($\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$), используемых для счета, является составной частью (подмножеством) множества целых чисел ($\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$). По определению, целые числа включают в себя все натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным. Таким образом, любое натуральное число автоматически является и целым числом.
Ответ: верно.

б) всякое целое число является натуральным;

Утверждение неверно. Множество целых чисел ($\mathbb{Z}$) шире множества натуральных чисел ($\mathbb{N}$). Оно содержит числа, которые не входят в множество натуральных. Например, число 0 является целым, но не является натуральным. Также все отрицательные целые числа (например, -1, -5, -100) являются целыми, но не натуральными. Для опровержения утверждения достаточно одного контрпримера, например, число -3.
Ответ: неверно.

в) всякое целое число является рациональным;

Утверждение верно. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (или ненулевое целое). Любое целое число $z$ можно представить в таком виде, если в качестве знаменателя $q$ взять 1: $z = \frac{z}{1}$. Поскольку это представление возможно для любого целого числа, все целые числа являются рациональными. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).
Ответ: верно.

г) всякое рациональное число является действительным;

Утверждение верно. Множество действительных (или вещественных) чисел ($\mathbb{R}$) определяется как объединение множества всех рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества всех иррациональных чисел ($\mathbb{I}$). Таким образом, по определению, каждое рациональное число является действительным. Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: верно.

д) всякое действительное число является рациональным;

Утверждение неверно. Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) включает в себя также иррациональные числа. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$. Примерами таких чисел являются $\pi \approx 3.14159...$ или $\sqrt{2} \approx 1.41421...$. Эти числа являются действительными, но не рациональными. Следовательно, существуют действительные числа, не являющиеся рациональными.
Ответ: неверно.

е) всякое иррациональное число является действительным.

Утверждение верно. Как и в пункте г), это следует непосредственно из определения действительных чисел. Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Следовательно, любое иррациональное число по определению принадлежит множеству действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: верно.

3 Приведите пример числа, которое:

а) является рациональным, но не является целым;

б) является целым, но не является натуральным;

в) является действительным, но не является рациональным;

г) является действительным, но не является иррациональным.

а) является рациональным, но не является целым;

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Целые числа — это числа без дробной части (например, $-3, 0, 5$). Чтобы число было рациональным, но не целым, оно должно быть дробью, которая не сводится к целому числу. Примерами могут служить обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби или бесконечные периодические дроби.

Пример: число $0.5$. Его можно представить в виде дроби $\frac{1}{2}$. Это число рациональное, но не целое, так как имеет дробную часть.

Ответ: $0.5$

б) является целым, но не является натуральным;

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете: $1, 2, 3, 4, ...$. Множество целых чисел включает в себя натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Следовательно, чтобы число было целым, но не натуральным, оно должно быть либо нулем, либо отрицательным целым числом.

Пример: число $-5$. Это целое число, но оно не используется для счета предметов, поэтому не является натуральным.

Ответ: $-5$

в) является действительным, но не является рациональным;

Множество действительных (или вещественных) чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел. Число, которое является действительным, но не является рациональным, по определению является иррациональным. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде простой дроби $\frac{m}{n}$, и их десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Пример: число $\sqrt{2}$. Это корень из числа, не являющегося полным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Его приблизительное значение $1.41421356...$ является бесконечной непериодической дробью.

Ответ: $\sqrt{2}$

г) является действительным, но не является иррациональным.

Как уже было сказано, множество действительных чисел делится на две непересекающиеся группы: рациональные и иррациональные числа. Если действительное число не является иррациональным, значит, оно по определению является рациональным. Таким образом, в качестве примера подойдет любое рациональное число, например, любое целое число или любая дробь.

Пример: число $7$. Это действительное число, и оно является рациональным (можно представить как $\frac{7}{1}$), следовательно, оно не является иррациональным.

Ответ: $7$

Запишите с помощью символов следующие утверждения:

1) $10$ — целое число;

2) $-18$ — действительное число;

3) $\frac{4}{11}$ — рациональное число;

4) $0,35$ не является целым числом;

5) $\sqrt{6} + \sqrt{10}$ — иррациональное число;

6) $-1$ не является натуральным числом.

1) Утверждение "10 — целое число" означает, что число 10 принадлежит множеству целых чисел. Множество целых чисел обозначается символом $\mathbb{Z}$. Знак принадлежности к множеству — $\in$. Таким образом, мы можем записать:

Ответ: $10 \in \mathbb{Z}$

2) Утверждение "-18 — действительное число" означает, что число -18 принадлежит множеству действительных (вещественных) чисел. Множество действительных чисел обозначается символом $\mathbb{R}$. Используя знак принадлежности $\in$, получаем:

Ответ: $-18 \in \mathbb{R}$

3) Утверждение "$\frac{4}{11}$ — рациональное число" означает, что число $\frac{4}{11}$ принадлежит множеству рациональных чисел. Множество рациональных чисел обозначается символом $\mathbb{Q}$. Запись с помощью символов будет выглядеть так:

Ответ: $\frac{4}{11} \in \mathbb{Q}$

4) Утверждение "0,35 не является целым числом" означает, что число 0,35 не принадлежит множеству целых чисел ($\mathbb{Z}$). Знак непринадлежности к множеству — $\notin$. Таким образом, запись будет следующей:

Ответ: $0,35 \notin \mathbb{Z}$

5) Утверждение "$\sqrt{6} + \sqrt{10}$ — иррациональное число" означает, что данное число принадлежит множеству иррациональных чисел. Множество иррациональных чисел обозначается символом $\mathbb{I}$. Используя знак принадлежности $\in$, получаем:

Ответ: $\sqrt{6} + \sqrt{10} \in \mathbb{I}$

6) Утверждение "-1 не является натуральным числом" означает, что число -1 не принадлежит множеству натуральных чисел. Множество натуральных чисел (1, 2, 3, ...) обозначается символом $\mathbb{N}$. Используя знак непринадлежности $\notin$, получаем:

Ответ: $-1 \notin \mathbb{N}$

5 Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника и для каждой из них выясните, рациональным или иррациональным числом выражается её длина (рис. 1.3, а–г).

Рис. 1.3

а) В треугольнике ABC: $\angle B = 30^\circ$, $AC = 4$.

б) В треугольнике ABC: $\angle A = 45^\circ$, $AB = 2\sqrt{2}$.

в) В треугольнике ABC: $\angle A = 60^\circ$, $AB = 2$.

г) В треугольнике ABC: $\angle A = 45^\circ$, $AB = 10$.

а) Дан прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен $30^\circ$, а противолежащий ему катет равен 4. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, катет $AC = 4$, а угол $B = 30^\circ$.

Найдём гипотенузу AB. Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin(B) = \frac{AC}{AB} $. Отсюда гипотенуза $ AB = \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8 $.

Найдём второй катет BC. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Это нам известно ($AC=4, AB=8$). Второй острый угол $A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Катет BC противолежит углу A. Найдём его через синус угла A: $ \sin(A) = \frac{BC}{AB} $. Отсюда катет $ BC = AB \cdot \sin(A) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} $. Также можно было найти BC по теореме Пифагора: $ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $.

Длина стороны AB равна 8 — это целое число, следовательно, рациональное. Длина стороны BC равна $4\sqrt{3}$ — это иррациональное число, так как $\sqrt{3}$ иррационально.

Ответ: $AB = 8$ (рациональное число), $BC = 4\sqrt{3}$ (иррациональное число).

б) Дан прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $2\sqrt{2}$, а один из острых углов равен $45^\circ$. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, гипотенуза $AB = 2\sqrt{2}$, а угол $A = 45^\circ$.

Поскольку один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это значит, что треугольник равнобедренный, и его катеты равны: $AC = BC$.

Найдём катет AC. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos(A) = \frac{AC}{AB} $. Отсюда $ AC = AB \cdot \cos(A) = 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2 $.

Так как $AC = BC$, то $BC = 2$. Длины сторон AC и BC равны 2 — это целое число, следовательно, они обе являются рациональными числами.

Ответ: $AC = 2$ (рациональное число), $BC = 2$ (рациональное число).

в) Дан прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 2, а один из острых углов равен $60^\circ$. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, гипотенуза $AB = 2$, а угол $A = 60^\circ$.

Найдём катет AC, прилежащий к углу A. Используем определение косинуса: $ \cos(A) = \frac{AC}{AB} $. Отсюда $ AC = AB \cdot \cos(A) = 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Найдём катет BC, противолежащий углу A. Используем определение синуса: $ \sin(A) = \frac{BC}{AB} $. Отсюда $ BC = AB \cdot \sin(A) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $.

Длина стороны AC равна 1 — это целое число, следовательно, рациональное. Длина стороны BC равна $\sqrt{3}$ — это иррациональное число.

Ответ: $AC = 1$ (рациональное число), $BC = \sqrt{3}$ (иррациональное число).

г) Дан прямоугольный треугольник, в котором один катет равен 10, а противолежащий ему угол равен $45^\circ$. Обозначим вершины как A, B, C, где угол C — прямой, катет $BC = 10$, а угол $A = 45^\circ$.

Так как один из острых углов равен $45^\circ$, треугольник является равнобедренным. Следовательно, катеты равны: $AC = BC = 10$.

Найдём гипотенузу AB. По теореме Пифагора: $ AB^2 = AC^2 + BC^2 $. $ AB = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2} $.

Длина стороны AC равна 10 — это целое число, следовательно, рациональное. Длина стороны AB равна $10\sqrt{2}$ — это иррациональное число, так как $\sqrt{2}$ иррационально.

Ответ: $AC = 10$ (рациональное число), $AB = 10\sqrt{2}$ (иррациональное число).

6 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)$;

б) $(3 - 2\sqrt{3})^2$;

в) $(2\sqrt{10})^2$;

г) $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$;

д) $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}}{6\sqrt{6}}$.

а) Чтобы определить значение выражения $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)$, воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{5}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$.
Число 4 является целым, а любое целое число является рациональным (его можно представить в виде дроби $\frac{4}{1}$).
Ответ: рациональное число.

б) Для упрощения выражения $(3-2\sqrt{3})^2$ применим формулу "квадрат разности": $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Здесь $a = 3$ и $b = 2\sqrt{3}$.
$(3-2\sqrt{3})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 9 - 12\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 9 - 12\sqrt{3} + 12 = 21 - 12\sqrt{3}$.
Полученное число $21 - 12\sqrt{3}$ является иррациональным, так как представляет собой разность рационального числа (21) и иррационального числа ($12\sqrt{3}$).
Ответ: иррациональное число.

в) Чтобы найти значение выражения $(2\sqrt{10})^2$, воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.
$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$.
Число 40 является целым, следовательно, оно рациональное.
Ответ: рациональное число.

г) Упростим произведение $3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$, используя свойство умножения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.
$3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = 3\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 12} = 3\sqrt{72}$.
Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Тогда все выражение равно $3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$.
Так как $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, то и произведение $18\sqrt{2}$ также иррационально.
Ответ: иррациональное число.

д) Упростим дробное выражение $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{18}}{6\sqrt{6}}$.
Сначала перемножим корни в числителе: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{3 \cdot 18} = \sqrt{54}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{\sqrt{54}}{6\sqrt{6}}$.
Воспользуемся свойством деления корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{54}}{6\sqrt{6}} = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{\frac{54}{6}} = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{9} = \frac{1}{6} \cdot 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Число $\frac{1}{2}$ представлено в виде обыкновенной дроби, следовательно, оно является рациональным.
Ответ: рациональное число.

7 Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

б) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

в) $\frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3}$

г) $2 - \sqrt{3} + \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

а)

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, упростим его. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это произведение знаменателей $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})$. Это формула разности квадратов: $(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$.

Теперь преобразуем все выражение: $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{5}) - \sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{7+\sqrt{35} - (7-\sqrt{35})}{2} = \frac{7+\sqrt{35}-7+\sqrt{35}}{2} = \frac{2\sqrt{35}}{2} = \sqrt{35}$.

Число $\sqrt{35}$ является иррациональным, так как 35 не является полным квадратом целого числа.

Ответ: иррациональное число.

б)

Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$, который по формуле разности квадратов равен $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.

Преобразуем выражение: $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(5+2\sqrt{15}+3) - (5-2\sqrt{15}+3)}{2} = \frac{(8+2\sqrt{15}) - (8-2\sqrt{15})}{2} = \frac{8+2\sqrt{15}-8+2\sqrt{15}}{2} = \frac{4\sqrt{15}}{2} = 2\sqrt{15}$.

Число $2\sqrt{15}$ является иррациональным, так как 15 не является полным квадратом целого числа.

Ответ: иррациональное число.

в)

Сначала упростим $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{2\sqrt{2}-3}{2\sqrt{2}+3} + \frac{2\sqrt{2}+3}{2\sqrt{2}-3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)$. По формуле разности квадратов он равен $(2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1$.

Преобразуем выражение: $\frac{(2\sqrt{2}-3)^2 + (2\sqrt{2}+3)^2}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)} = \frac{(8-12\sqrt{2}+9) + (8+12\sqrt{2}+9)}{-1} = \frac{17-12\sqrt{2} + 17+12\sqrt{2}}{-1} = \frac{34}{-1} = -34$.

Число -34 является целым, а значит, и рациональным.

Ответ: рациональное число.

г)

Упростим сначала дробную часть выражения $\frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2-\sqrt{3})$: $\frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3}{2^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{-1+\sqrt{3}}{4-3} = -1+\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $2-\sqrt{3} + \frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3} + (-1+\sqrt{3}) = 2-\sqrt{3}-1+\sqrt{3} = 1$.

Число 1 является целым, а значит, и рациональным.

Ответ: рациональное число.