Страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

15 Как начинается бесконечная десятичная дробь, представляющая данное число? (Приведите четыре знака после запятой; воспользуйтесь калькулятором.)

a) $ \frac{11}{12} $; $ \frac{34}{23} $; $ \frac{5}{11} $; $ \frac{4}{15} $;

б) $ \sqrt{137} $; $ \sqrt{22,5} $; $ \sqrt{0,5} $; $ \sqrt{243} $;

в) $ 2\pi $; $ 3\pi $; $ \frac{\pi}{2} $; $ \frac{\pi}{4} $.

а)

Для того чтобы найти, как начинается бесконечная десятичная дробь для каждого числа, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель с помощью калькулятора. Результат записываем, оставляя четыре знака после запятой.

• $ \frac{11}{12} = 11 \div 12 = 0,91666... \approx 0,9166 $

• $ \frac{34}{23} = 34 \div 23 = 1,47826... \approx 1,4782 $

• $ \frac{5}{11} = 5 \div 11 = 0,454545... \approx 0,4545 $

• $ \frac{4}{15} = 4 \div 15 = 0,26666... \approx 0,2666 $

Ответ: $0,9166$; $1,4782$; $0,4545$; $0,2666$.

б)

Для нахождения приближенных значений квадратных корней воспользуемся калькулятором. Результат также запишем с четырьмя знаками после запятой, отбросив последующие цифры.

• $ \sqrt{137} \approx 11,704699... \approx 11,7046 $

• $ \sqrt{22,5} \approx 4,743416... \approx 4,7434 $

• $ \sqrt{0,5} \approx 0,707106... \approx 0,7071 $

• $ \sqrt{243} \approx 15,588457... \approx 15,5884 $

Ответ: $11,7046$; $4,7434$; $0,7071$; $15,5884$.

в)

Для вычислений используем приближенное значение числа $\pi$ (пи), которое является иррациональным числом $\pi \approx 3,14159265...$. Выполним требуемые арифметические действия на калькуляторе.

• $ 2\pi = 2 \cdot \pi \approx 6,283185... \approx 6,2831 $

• $ 3\pi = 3 \cdot \pi \approx 9,424777... \approx 9,4247 $

• $ \frac{\pi}{2} = \pi \div 2 \approx 1,570796... \approx 1,5707 $

• $ \frac{\pi}{4} = \pi \div 4 \approx 0,785398... \approx 0,7853 $

Ответ: $6,2831$; $9,4247$; $1,5707$; $0,7853$.

16 Представьте бесконечной десятичной дробью все правильные дроби со знаменателем 9. Какую закономерность вы заметили?

Представьте бесконечной десятичной дробью все правильные дроби со знаменателем 9.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В данном случае знаменатель равен 9, значит, числителями будут целые числа от 1 до 8. Переведем каждую такую дробь в бесконечную десятичную дробь путем деления числителя на знаменатель.

• $\frac{1}{9} = 1 \div 9 = 0.111... = 0.(1)$
• $\frac{2}{9} = 2 \div 9 = 0.222... = 0.(2)$
• $\frac{3}{9} = 3 \div 9 = 0.333... = 0.(3)$
• $\frac{4}{9} = 4 \div 9 = 0.444... = 0.(4)$
• $\frac{5}{9} = 5 \div 9 = 0.555... = 0.(5)$
• $\frac{6}{9} = 6 \div 9 = 0.666... = 0.(6)$
• $\frac{7}{9} = 7 \div 9 = 0.777... = 0.(7)$
• $\frac{8}{9} = 8 \div 9 = 0.888... = 0.(8)$

Ответ: $\frac{1}{9}=0.(1)$; $\frac{2}{9}=0.(2)$; $\frac{3}{9}=0.(3)$; $\frac{4}{9}=0.(4)$; $\frac{5}{9}=0.(5)$; $\frac{6}{9}=0.(6)$; $\frac{7}{9}=0.(7)$; $\frac{8}{9}=0.(8)$.

Какую закономерность вы заметили?

При представлении правильной дроби со знаменателем 9 в виде бесконечной десятичной дроби получается чистая периодическая дробь. Цифра, стоящая в периоде этой дроби, всегда равна числителю исходной дроби.

Эту закономерность можно записать в виде формулы: $\frac{n}{9} = 0.(n)$, где $n$ — любое целое число от 1 до 8.

Ответ: При переводе правильной дроби с числителем $n$ и знаменателем 9 в десятичную дробь получается периодическая дробь, у которой цифра в периоде равна числителю $n$.

17 Округлите до сотых и до тысячных число:

а) $2,3452$;

б) $0,0817$;

в) $15,1919...$;

г) $4,122122...$;

д) $7,171771777...$;

е) $0,35791011...$;

ж) $0,333333...$;

з) $0,626262...$.

а) Для округления числа $2,3452$ до сотых (до второго знака после запятой) смотрим на третью цифру после запятой. Эта цифра — $5$. По правилам округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна $5$ или больше, то разряд увеличивается на единицу. Таким образом, цифру в разряде сотых ($4$) увеличиваем на $1$, получаем $5$. Результат: $2,35$.
Для округления до тысячных (до третьего знака после запятой) смотрим на четвертую цифру после запятой. Эта цифра — $2$. Так как $2 < 5$, цифру в разряде тысячных ($5$) оставляем без изменений. Результат: $2,345$.
Ответ: до сотых — $2,35$; до тысячных — $2,345$.

б) Для округления числа $0,0817$ до сотых смотрим на третью цифру после запятой — $1$. Так как $1 < 5$, цифру в разряде сотых ($8$) оставляем без изменений. Результат: $0,08$.
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — $7$. Так как $7 \ge 5$, цифру в разряде тысячных ($1$) увеличиваем на $1$, получаем $2$. Результат: $0,082$.
Ответ: до сотых — $0,08$; до тысячных — $0,082$.

в) Число $15,1919...$ является бесконечной периодической дробью $15,(19)$. Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой — $1$. Так как $1 < 5$, цифру в разряде сотых ($9$) оставляем без изменений. Результат: $15,19$.
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — $9$. Так как $9 \ge 5$, цифру в разряде тысячных ($1$) увеличиваем на $1$, получаем $2$. Результат: $15,192$.
Ответ: до сотых — $15,19$; до тысячных — $15,192$.

г) В числе $4,122122...$ для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой — $2$. Так как $2 < 5$, цифру в разряде сотых ($2$) оставляем без изменений. Результат: $4,12$.
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — $1$. Так как $1 < 5$, цифру в разряде тысячных ($2$) оставляем без изменений. Результат: $4,122$.
Ответ: до сотых — $4,12$; до тысячных — $4,122$.

д) В числе $7,171771777...$ для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой — $1$. Так как $1 < 5$, цифру в разряде сотых ($7$) оставляем без изменений. Результат: $7,17$.
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — $7$. Так как $7 \ge 5$, цифру в разряде тысячных ($1$) увеличиваем на $1$, получаем $2$. Результат: $7,172$.
Ответ: до сотых — $7,17$; до тысячных — $7,172$.

е) В числе $0,35791011...$ для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой — $7$. Так как $7 \ge 5$, цифру в разряде сотых ($5$) увеличиваем на $1$, получаем $6$. Результат: $0,36$.
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — $9$. Так как $9 \ge 5$, цифру в разряде тысячных ($7$) увеличиваем на $1$, получаем $8$. Результат: $0,358$.
Ответ: до сотых — $0,36$; до тысячных — $0,358$.

ж) Число $0,333333...$ является бесконечной периодической дробью $0,(3)$. Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой — $3$. Так как $3 < 5$, цифру в разряде сотых ($3$) оставляем без изменений. Результат: $0,33$.
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — $3$. Так как $3 < 5$, цифру в разряде тысячных ($3$) оставляем без изменений. Результат: $0,333$.
Ответ: до сотых — $0,33$; до тысячных — $0,333$.

з) Число $0,626262...$ является бесконечной периодической дробью $0,(62)$. Для округления до сотых смотрим на третью цифру после запятой — $6$. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде сотых ($2$) увеличиваем на $1$, получаем $3$. Результат: $0,63$.
Для округления до тысячных смотрим на четвертую цифру после запятой — $2$. Так как $2 < 5$, цифру в разряде тысячных ($6$) оставляем без изменений. Результат: $0,626$.
Ответ: до сотых — $0,63$; до тысячных — $0,626$.

18 Решите уравнение и укажите, рациональными или иррациональными являются его корни. Найдите приближённые значения иррациональных корней с одним знаком после запятой:

а) $25x^2 = 4;$

б) $10x^2 = 5;$

в) $16x^2 - 1 = 0;$

г) $9x^2 - 1 = 26;$

д) $0,6x^2 = 4,8;$

е) $0,96 = 1,5x^2.$

а) $25x^2 = 4$

Для решения уравнения разделим обе части на 25:
$x^2 = \frac{4}{25}$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$
$x = \pm \frac{2}{5}$
$x_1 = \frac{2}{5} = 0,4$ и $x_2 = -\frac{2}{5} = -0,4$.
Корни являются рациональными числами, так как их можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число, а $n$ - натуральное.

Ответ: корни $x_1 = 0,4$ и $x_2 = -0,4$ являются рациональными.

б) $10x^2 = 5$

Разделим обе части уравнения на 10:
$x^2 = \frac{5}{10}$
$x^2 = \frac{1}{2}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
Корни $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются иррациональными, так как $\sqrt{2}$ - иррациональное число.
Найдем их приближенные значения. Используем $\sqrt{2} \approx 1,414...$
$x \approx \pm \frac{1,414}{2} \approx \pm 0,707$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $x \approx \pm 0,7$.

Ответ: корни $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ являются иррациональными; $x_1 \approx 0,7$, $x_2 \approx -0,7$.

в) $16x^2 - 1 = 0$

Перенесем -1 в правую часть уравнения:
$16x^2 = 1$
Разделим обе части на 16:
$x^2 = \frac{1}{16}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$
$x = \pm \frac{1}{4}$
$x_1 = \frac{1}{4} = 0,25$ и $x_2 = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Корни являются рациональными числами.

Ответ: корни $x_1 = 0,25$ и $x_2 = -0,25$ являются рациональными.

г) $9x^2 - 1 = 26$

Перенесем -1 в правую часть:
$9x^2 = 26 + 1$
$9x^2 = 27$
Разделим обе части на 9:
$x^2 = \frac{27}{9}$
$x^2 = 3$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{3}$
Корни $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ являются иррациональными.
Найдем их приближенные значения. Используем $\sqrt{3} \approx 1,732...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $x \approx \pm 1,7$.

Ответ: корни $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$ являются иррациональными; $x_1 \approx 1,7$, $x_2 \approx -1,7$.

д) $0,6x^2 = 4,8$

Разделим обе части уравнения на 0,6:
$x^2 = \frac{4,8}{0,6}$
$x^2 = \frac{48}{6}$
$x^2 = 8$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{8} = \pm \sqrt{4 \cdot 2} = \pm 2\sqrt{2}$
Корни $x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$ являются иррациональными.
Найдем их приближенные значения. Используем $\sqrt{2} \approx 1,414...$
$x \approx \pm 2 \cdot 1,414 = \pm 2,828...$
Округляя до одного знака после запятой, получаем $x \approx \pm 2,8$.

Ответ: корни $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$ являются иррациональными; $x_1 \approx 2,8$, $x_2 \approx -2,8$.

е) $0,96 = 1,5x^2$

Запишем уравнение в более привычном виде: $1,5x^2 = 0,96$.
Разделим обе части на 1,5:
$x^2 = \frac{0,96}{1,5}$
$x^2 = \frac{96}{150}$
Сократим дробь на 6:
$x^2 = \frac{16}{25}$
Извлечем квадратный корень:
$x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}}$
$x = \pm \frac{4}{5}$
$x_1 = \frac{4}{5} = 0,8$ и $x_2 = -\frac{4}{5} = -0,8$.
Корни являются рациональными числами.

Ответ: корни $x_1 = 0,8$ и $x_2 = -0,8$ являются рациональными.

19 В окружность с центром O и радиусом, равным 1, вписан треугольник (рис 1.5, а, б).

Найдите длину каждой стороны треугольника. Если длина стороны выражается иррациональным числом, найдите её приближённое значение с одним знаком после запятой.

a) $60^\circ$

б) $45^\circ$

Рис. 1.5

а)

Поскольку треугольник ABC вписан в окружность с центром O и радиусом $R=1$, а его сторона AB проходит через центр O, то AB является диаметром окружности. Длина диаметра равна $2R$.
$AB = 2 \times 1 = 2$.
Угол C, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
Из условия задачи известно, что $\angle A = 60^\circ$.
Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Теперь найдем длины сторон AC и BC с помощью тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике ABC, где AB — гипотенуза.
Длина катета AC, прилежащего к углу A, равна:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Длина катета BC, противолежащего углу A, равна:
$BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, найдем его приближенное значение с одним знаком после запятой:
$BC = \sqrt{3} \approx 1.732... \approx 1.7$.
Также можно воспользоваться обобщенной теоремой синусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R$.
$BC = 2R \sin(\angle A) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.7$.
$AC = 2R \sin(\angle B) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1$.

Ответ: $AB = 2$; $AC = 1$; $BC = \sqrt{3} \approx 1.7$.

б)

Аналогично предыдущему случаю, сторона AB проходит через центр окружности и является ее диаметром. При радиусе $R=1$ ее длина равна:
$AB = 2 \times 1 = 2$.
Угол C опирается на диаметр, поэтому $\angle C = 90^\circ$, и треугольник ABC — прямоугольный.
По условию, $\angle A = 45^\circ$.
Найдем угол B:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку $\angle A = \angle B = 45^\circ$, треугольник ABC является равнобедренным, и его катеты равны: $AC = BC$.
Найдем длины катетов AC и BC:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 2 \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Поскольку $AC = BC$, то $BC = \sqrt{2}$.
Длина $\sqrt{2}$ является иррациональным числом. Найдем ее приближенное значение с одним знаком после запятой:
$AC = BC = \sqrt{2} \approx 1.414... \approx 1.4$.
Проверка по теореме синусов:
$AC = 2R \sin(\angle B) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \approx 1.4$.
$BC = 2R \sin(\angle A) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \approx 1.4$.

Ответ: $AB = 2$; $AC = \sqrt{2} \approx 1.4$; $BC = \sqrt{2} \approx 1.4$.

20 Выпишите десять знаков после запятой бесконечной десятичной дроби, представляющей число $\frac{11}{27}$. С какого знака после запятой начинают повторяться цифры в частном? Как вы думаете, какая цифра стоит на 12-м месте после запятой? на 16-м? на 20-м?

Выпишите десять знаков после запятой бесконечной десятичной дроби, представляющей число $\frac{11}{27}$.

Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо разделить числитель на знаменатель. Выполним деление 11 на 27 столбиком.
$11 \div 27 = 0$ (целая часть равна нулю).
Далее делим $110$ на $27$. Получаем $4$ и остаток $110 - 4 \times 27 = 110 - 108 = 2$. Первая цифра после запятой — 4.
К остатку $2$ приписываем $0$, делим $20$ на $27$. Получаем $0$ и остаток $20$. Вторая цифра — 0.
К остатку $20$ приписываем $0$, делим $200$ на $27$. Получаем $7$ и остаток $200 - 7 \times 27 = 200 - 189 = 11$. Третья цифра — 7.
К остатку $11$ приписываем $0$, делим $110$ на $27$. Мы видим, что остаток $11$ повторился, значит, дальше цифры в частном будут повторяться.
Таким образом, мы получили бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом `407`:
$\frac{11}{27} = 0,407407407... = 0,(407)$.
Первые десять знаков после запятой: 4, 0, 7, 4, 0, 7, 4, 0, 7, 4.
Ответ: 4074074074.

С какого знака после запятой начинают повторяться цифры в частном?

Как было определено в предыдущем пункте, десятичное представление числа $\frac{11}{27}$ это $0,(407)$. Это чистая периодическая дробь, что означает, что повторение группы цифр (периода) `407` начинается сразу после запятой, то есть с первого знака.
Ответ: с первого.

Как вы думаете, какая цифра стоит на 12-м месте после запятой? на 16-м? на 20-м?

Период дроби $0,(407)$ состоит из 3 цифр. Чтобы определить, какая цифра стоит на $n$-м месте после запятой, нужно найти остаток от деления номера места $n$ на длину периода, то есть на 3.
- Если остаток от деления равен 1, на этом месте стоит первая цифра периода (4).
- Если остаток от деления равен 2, на этом месте стоит вторая цифра периода (0).
- Если остаток от деления равен 0 (то есть $n$ делится на 3 нацело), на этом месте стоит последняя (третья) цифра периода (7).

Найдем цифру на 12-м месте:
$12 \div 3 = 4$ с остатком 0. Так как остаток 0, на 12-м месте стоит третья цифра периода. Это цифра 7.

Найдем цифру на 16-м месте:
$16 \div 3 = 5$ с остатком 1. Так как остаток 1, на 16-м месте стоит первая цифра периода. Это цифра 4.

Найдем цифру на 20-м месте:
$20 \div 3 = 6$ с остатком 2. Так как остаток 2, на 20-м месте стоит вторая цифра периода. Это цифра 0.
Ответ: на 12-м месте стоит цифра 7, на 16-м месте — 4, на 20-м месте — 0.

21 Запишите какую-нибудь правильную обыкновенную дробь, которая не обращается в конечную десятичную дробь. Выполните для неё такое же задание, как в упражнении 20.

Для выполнения задания нужно выбрать правильную обыкновенную дробь, которая не преобразуется в конечную десятичную.

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Несократимая обыкновенная дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь, если её знаменатель содержит простые множители, отличные от 2 и 5.

Выберем дробь $ \frac{2}{3} $.

• Это правильная дробь, так как $2 < 3$.
• Она несократимая.
• Её знаменатель равен 3. Это простое число, отличное от 2 и 5.

Следовательно, дробь $ \frac{2}{3} $ удовлетворяет условию задачи.

Теперь выполним для неё задания, которые обычно подразумеваются при работе с преобразованием дробей (аналогично условному упражнению 20).

а) Преобразовать дробь $ \frac{2}{3} $ в десятичную.

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить её числитель на знаменатель. Разделим 2 на 3:

$2 \div 3 = 0.666...$

При делении мы получаем бесконечно повторяющуюся цифру 6. Это бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 6.

Ответ: $ \frac{2}{3} = 0.(6) $.

б) Найти десятичное приближение дроби $ \frac{2}{3} $ с недостатком до сотых.

Десятичное представление дроби $ \frac{2}{3} $ — это $0.6666...$. Разряд сотых — это вторая цифра после запятой. Чтобы найти приближение с недостатком до сотых, нужно оставить первые две цифры после запятой, отбросив все последующие.

$0.66 < 0.6666...$

Ответ: Десятичное приближение дроби $ \frac{2}{3} $ с недостатком до сотых равно $0.66$.

в) Найти десятичное приближение дроби $ \frac{2}{3} $ с избытком до сотых.

Чтобы найти приближение с избытком до сотых, нужно к приближению с недостатком ($0.66$) прибавить единицу младшего разряда (одну сотую, то есть $0.01$).

$0.66 + 0.01 = 0.67$

Это значение больше исходной дроби: $0.67 > 0.6666...$. Таким образом, значение дроби $ \frac{2}{3} $ заключено между её приближениями с недостатком и с избытком: $0.66 < \frac{2}{3} < 0.67$.

Ответ: Десятичное приближение дроби $ \frac{2}{3} $ с избытком до сотых равно $0.67$.

г) Округлить дробь $ \frac{2}{3} $ до сотых.

Чтобы округлить дробь $ \frac{2}{3} = 0.6666...$ до сотых, нужно посмотреть на цифру, следующую за разрядом сотых, то есть на третью цифру после запятой.

Третья цифра — 6. Согласно правилам округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру в округляемом разряде нужно увеличить на единицу.

Цифра в разряде сотых у нас 6, следующая за ней тоже 6. Значит, мы увеличиваем цифру в разряде сотых на 1: $6 + 1 = 7$.

Ответ: $ \frac{2}{3} \approx 0.67 $.