Номер 19, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.2 «Универсальное имя» действительных чисел. Глава 1. Неравенства - номер 19, страница 14.

19 В окружность с центром O и радиусом, равным 1, вписан треугольник (рис 1.5, а, б).

Найдите длину каждой стороны треугольника. Если длина стороны выражается иррациональным числом, найдите её приближённое значение с одним знаком после запятой.

a) $60^\circ$

б) $45^\circ$

Рис. 1.5

а)

Поскольку треугольник ABC вписан в окружность с центром O и радиусом $R=1$, а его сторона AB проходит через центр O, то AB является диаметром окружности. Длина диаметра равна $2R$.
$AB = 2 \times 1 = 2$.
Угол C, опирающийся на диаметр, является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.
Из условия задачи известно, что $\angle A = 60^\circ$.
Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Теперь найдем длины сторон AC и BC с помощью тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике ABC, где AB — гипотенуза.
Длина катета AC, прилежащего к углу A, равна:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 2 \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Длина катета BC, противолежащего углу A, равна:
$BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Так как $\sqrt{3}$ является иррациональным числом, найдем его приближенное значение с одним знаком после запятой:
$BC = \sqrt{3} \approx 1.732... \approx 1.7$.
Также можно воспользоваться обобщенной теоремой синусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R$.
$BC = 2R \sin(\angle A) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.7$.
$AC = 2R \sin(\angle B) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1$.

Ответ: $AB = 2$; $AC = 1$; $BC = \sqrt{3} \approx 1.7$.

б)

Аналогично предыдущему случаю, сторона AB проходит через центр окружности и является ее диаметром. При радиусе $R=1$ ее длина равна:
$AB = 2 \times 1 = 2$.
Угол C опирается на диаметр, поэтому $\angle C = 90^\circ$, и треугольник ABC — прямоугольный.
По условию, $\angle A = 45^\circ$.
Найдем угол B:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку $\angle A = \angle B = 45^\circ$, треугольник ABC является равнобедренным, и его катеты равны: $AC = BC$.
Найдем длины катетов AC и BC:
$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 2 \cdot \cos(45^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Поскольку $AC = BC$, то $BC = \sqrt{2}$.
Длина $\sqrt{2}$ является иррациональным числом. Найдем ее приближенное значение с одним знаком после запятой:
$AC = BC = \sqrt{2} \approx 1.414... \approx 1.4$.
Проверка по теореме синусов:
$AC = 2R \sin(\angle B) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \approx 1.4$.
$BC = 2R \sin(\angle A) = 2 \cdot 1 \cdot \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \approx 1.4$.

Ответ: $AB = 2$; $AC = \sqrt{2} \approx 1.4$; $BC = \sqrt{2} \approx 1.4$.