Номер 2, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.1 Действительные числа. Глава 1. Неравенства - номер 2, страница 10.

Определите, верно или неверно утверждение, объясните свой ответ:

а) всякое натуральное число является целым;

б) всякое целое число является натуральным;

в) всякое целое число является рациональным;

г) всякое рациональное число является действительным;

д) всякое действительное число является рациональным;

е) всякое иррациональное число является действительным.

а) всякое натуральное число является целым;

Утверждение верно. Множество натуральных чисел ($\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$), используемых для счета, является составной частью (подмножеством) множества целых чисел ($\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$). По определению, целые числа включают в себя все натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным. Таким образом, любое натуральное число автоматически является и целым числом.
Ответ: верно.

б) всякое целое число является натуральным;

Утверждение неверно. Множество целых чисел ($\mathbb{Z}$) шире множества натуральных чисел ($\mathbb{N}$). Оно содержит числа, которые не входят в множество натуральных. Например, число 0 является целым, но не является натуральным. Также все отрицательные целые числа (например, -1, -5, -100) являются целыми, но не натуральными. Для опровержения утверждения достаточно одного контрпримера, например, число -3.
Ответ: неверно.

в) всякое целое число является рациональным;

Утверждение верно. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (или ненулевое целое). Любое целое число $z$ можно представить в таком виде, если в качестве знаменателя $q$ взять 1: $z = \frac{z}{1}$. Поскольку это представление возможно для любого целого числа, все целые числа являются рациональными. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$).
Ответ: верно.

г) всякое рациональное число является действительным;

Утверждение верно. Множество действительных (или вещественных) чисел ($\mathbb{R}$) определяется как объединение множества всех рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества всех иррациональных чисел ($\mathbb{I}$). Таким образом, по определению, каждое рациональное число является действительным. Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: верно.

д) всякое действительное число является рациональным;

Утверждение неверно. Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) включает в себя также иррациональные числа. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{p}{q}$. Примерами таких чисел являются $\pi \approx 3.14159...$ или $\sqrt{2} \approx 1.41421...$. Эти числа являются действительными, но не рациональными. Следовательно, существуют действительные числа, не являющиеся рациональными.
Ответ: неверно.

е) всякое иррациональное число является действительным.

Утверждение верно. Как и в пункте г), это следует непосредственно из определения действительных чисел. Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) — это совокупность всех рациональных и иррациональных чисел. Следовательно, любое иррациональное число по определению принадлежит множеству действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: верно.