Номер 33, страница 18 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.3 Общие свойства неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 33, страница 18.

33 а) Можно ли сравнить числа а и с, если:

1) $a > b, b = c$; 2) $a > b, b \leq c$; 3) $a \geq b, b \geq c$; 4) $a < b, c \geq b$; 5) $a \leq b, b < c?

б) Можно ли сравнить числа а и d, если $c \leq a \leq b$ и:

1) $b < d$; 2) $c < d < b$; 3) $d < c$; 4) $d \leq b?

в) Какой вывод можно сделать о соотношении чисел а и b, если выполняются сразу два неравенства: $a \geq b$ и $a \leq b?

а) Можно ли сравнить числа a и c, если:

1) $a > b, b = c$

Поскольку по условию $b = c$, мы можем заменить $b$ на $c$ в первом неравенстве $a > b$. В результате такой подстановки мы получаем неравенство $a > c$. Таким образом, числа можно сравнить.
Ответ: Да, можно. $a > c$.

2) $a > b, b \le c$

Из этих условий нельзя однозначно сравнить $a$ и $c$. Приведем примеры, которые показывают, что возможны разные соотношения между $a$ и $c$.
Пусть $a=5, b=4$. Условие $a > b$ выполнено ($5 > 4$).
- Если $c=6$, то условие $b \le c$ выполнено ($4 \le 6$). В этом случае $a < c$ ($5 < 6$).
- Если $c=5$, то условие $b \le c$ выполнено ($4 \le 5$). В этом случае $a = c$ ($5 = 5$).
- Если $c=4$, то условие $b \le c$ выполнено ($4 \le 4$). В этом случае $a > c$ ($5 > 4$).
Поскольку возможны все три варианта соотношения ($a < c$, $a = c$, $a > c$), сделать однозначный вывод о сравнении $a$ и $c$ нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

3) $a \ge b, b \ge c$

Данный случай является примером свойства транзитивности для нестрогих неравенств. Если число $a$ больше или равно числу $b$, а число $b$ в свою очередь больше или равно числу $c$, то из этого следует, что число $a$ больше или равно числу $c$. Математически это записывается так: из $a \ge b$ и $b \ge c$ следует $a \ge c$.
Ответ: Да, можно. $a \ge c$.

4) $a < b, c \ge b$

Перепишем второе неравенство в более привычном виде: $b \le c$. Теперь у нас есть система из двух неравенств: $a < b$ и $b \le c$. По свойству транзитивности, если $a$ строго меньше $b$, а $b$ меньше или равно $c$, то $a$ будет строго меньше $c$.
Ответ: Да, можно. $a < c$.

5) $a \le b, b < c$

Здесь также применяется свойство транзитивности. Если число $a$ меньше или равно числу $b$, а число $b$ строго меньше числа $c$, то из этого следует, что число $a$ строго меньше числа $c$. Из $a \le b$ и $b < c$ следует $a < c$.
Ответ: Да, можно. $a < c$.

б) Можно ли сравнить числа a и d, если $c \le a \le b$ и:

1) $b < d$

Из основного условия мы знаем, что $a \le b$. Дополнительно нам дано, что $b < d$. Объединяя эти два неравенства ($a \le b$ и $b < d$), по свойству транзитивности мы можем заключить, что $a < d$.
Ответ: Да, можно. $a < d$.

2) $c < d < b$

В данном случае сравнить $a$ и $d$ однозначно нельзя. Условие $c \le a \le b$ означает, что $a$ находится на отрезке $[c, b]$. Условие $c < d < b$ означает, что $d$ находится в интервале $(c, b)$. Их взаимное расположение не определено.
Например, пусть $c=1, b=10$. Тогда $1 \le a \le 10$. Пусть $d=5$, что удовлетворяет условию $1 < 5 < 10$.
- Если мы выберем $a=4$, то $a < d$.
- Если же мы выберем $a=6$, то $a > d$.
- А если выбрать $a=5$, то $a = d$.
Так как возможны все варианты, однозначно сравнить $a$ и $d$ нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

3) $d < c$

Из основного условия мы знаем, что $c \le a$. Дополнительно нам дано, что $d < c$. Объединяя эти два неравенства ($d < c$ и $c \le a$), по свойству транзитивности мы можем заключить, что $d < a$, или, что то же самое, $a > d$.
Ответ: Да, можно. $a > d$.

4) $d \le b$

Условия $a \le b$ и $d \le b$ говорят лишь о том, что оба числа, $a$ и $d$, не превышают $b$. Это не позволяет сравнить их между собой.
Например, пусть $c=1$ и $b=10$. Тогда $1 \le a \le 10$, и по условию $d \le 10$.
- Если выбрать $a=5$ и $d=4$, то оба условия выполняются, и при этом $a > d$.
- Если выбрать $a=5$ и $d=6$, то оба условия также выполняются, но $a < d$.
Следовательно, однозначно сравнить числа нельзя.
Ответ: Нет, нельзя.

в) Какой вывод можно сделать о соотношении чисел a и b, если выполняются сразу два неравенства: $a \ge b$ и $a \le b$?

Рассмотрим систему из двух неравенств: $\begin{cases} a \ge b \\ a \le b \end{cases}$.
Первое неравенство $a \ge b$ означает, что "число $a$ больше или равно числу $b$".
Второе неравенство $a \le b$ означает, что "число $a$ меньше или равно числу $b$".
Единственная возможность, при которой оба эти утверждения могут быть истинными одновременно, — это когда число $a$ равно числу $b$. Если бы $a$ было строго больше $b$, то второе неравенство бы не выполнялось. Если бы $a$ было строго меньше $b$, то первое неравенство бы не выполнялось. Таким образом, единственным решением данной системы является равенство.
Ответ: Числа $a$ и $b$ равны, то есть $a = b$.