Страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

50 Какие из чисел -3; -1; 0; 1; 2; 3 являются решениями данного неравенства, а какие не являются:

а) $2x + 8 < 12$;

б) $y < 3y + 1$;

в) $z^2 \le z$;

г) $\frac{4}{a - 2} > 0$?

Чтобы определить, какие из чисел -3; -1; 0; 1; 2; 3 являются решениями неравенств, а какие нет, нужно подставить каждое число в соответствующее неравенство и проверить, выполняется ли оно.

а) $2x + 8 < 12$

Проверим каждое число:

• При $x = -3$: $2 \cdot (-3) + 8 = -6 + 8 = 2$. Неравенство $2 < 12$ верно.
• При $x = -1$: $2 \cdot (-1) + 8 = -2 + 8 = 6$. Неравенство $6 < 12$ верно.
• При $x = 0$: $2 \cdot 0 + 8 = 0 + 8 = 8$. Неравенство $8 < 12$ верно.
• При $x = 1$: $2 \cdot 1 + 8 = 2 + 8 = 10$. Неравенство $10 < 12$ верно.
• При $x = 2$: $2 \cdot 2 + 8 = 4 + 8 = 12$. Неравенство $12 < 12$ неверно, так как $12 = 12$.
• При $x = 3$: $2 \cdot 3 + 8 = 6 + 8 = 14$. Неравенство $14 < 12$ неверно.

Ответ: решениями являются числа -3, -1, 0, 1; не являются решениями числа 2, 3.

б) $y < 3y + 1$

Подставим значения в неравенство:

• При $y = -3$: $-3 < 3 \cdot (-3) + 1 \implies -3 < -9 + 1 \implies -3 < -8$. Неравенство неверно.
• При $y = -1$: $-1 < 3 \cdot (-1) + 1 \implies -1 < -3 + 1 \implies -1 < -2$. Неравенство неверно.
• При $y = 0$: $0 < 3 \cdot 0 + 1 \implies 0 < 1$. Неравенство верно.
• При $y = 1$: $1 < 3 \cdot 1 + 1 \implies 1 < 4$. Неравенство верно.
• При $y = 2$: $2 < 3 \cdot 2 + 1 \implies 2 < 7$. Неравенство верно.
• При $y = 3$: $3 < 3 \cdot 3 + 1 \implies 3 < 10$. Неравенство верно.

Ответ: решениями являются числа 0, 1, 2, 3; не являются решениями числа -3, -1.

в) $z^2 \le z$

Проверим для каждого значения z:

• При $z = -3$: $(-3)^2 \le -3 \implies 9 \le -3$. Неравенство неверно.
• При $z = -1$: $(-1)^2 \le -1 \implies 1 \le -1$. Неравенство неверно.
• При $z = 0$: $0^2 \le 0 \implies 0 \le 0$. Неравенство верно, так как числа равны.
• При $z = 1$: $1^2 \le 1 \implies 1 \le 1$. Неравенство верно, так как числа равны.
• При $z = 2$: $2^2 \le 2 \implies 4 \le 2$. Неравенство неверно.
• При $z = 3$: $3^2 \le 3 \implies 9 \le 3$. Неравенство неверно.

Ответ: решениями являются числа 0, 1; не являются решениями числа -3, -1, 2, 3.

г) $\frac{4}{a - 2} > 0$

Дробь больше нуля, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Числитель 4 является положительным числом. Следовательно, знаменатель также должен быть положительным: $a - 2 > 0$, что равносильно $a > 2$.

Проверим, какие из предложенных чисел удовлетворяют условию $a > 2$:

• $a = -3$: $-3 > 2$ – неверно.
• $a = -1$: $-1 > 2$ – неверно.
• $a = 0$: $0 > 2$ – неверно.
• $a = 1$: $1 > 2$ – неверно.
• $a = 2$: $2 > 2$ – неверно. Кроме того, при $a=2$ знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.
• $a = 3$: $3 > 2$ – верно.

Ответ: решением является число 3; не являются решениями числа -3, -1, 0, 1, 2.

51. Подберите какие-нибудь два числа, являющиеся решениями данного неравенства, и два числа, не являющиеся его решениями:
а) $x < 5x$;
б) $\frac{1}{y} > y$;
в) $a > -a^2$;
г) $z \le z^2$.

a) $x < 5x$

Для того чтобы найти решения неравенства, преобразуем его. Перенесем $x$ в правую часть:

$0 < 5x - x$

$0 < 4x$

Разделим обе части на 4 (знак неравенства не изменится):

$0 < x$ или $x > 0$

Таким образом, решением неравенства являются все положительные числа.

Числа, являющиеся решениями (любые $x > 0$):

1. Возьмем $x = 1$. Проверяем: $1 < 5 \cdot 1$, что равносильно $1 < 5$. Неравенство верное.

2. Возьмем $x = 10$. Проверяем: $10 < 5 \cdot 10$, что равносильно $10 < 50$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями (любые $x \le 0$):

1. Возьмем $x = 0$. Проверяем: $0 < 5 \cdot 0$, что равносильно $0 < 0$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $x = -2$. Проверяем: $-2 < 5 \cdot (-2)$, что равносильно $-2 < -10$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 1 и 10; не являются решениями, например, числа 0 и -2.

б) $\frac{1}{y} > y$

Для решения этого неравенства необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака $y$. Заметим, что $y \neq 0$.

Случай 1: $y > 0$. В этом случае можно умножить обе части неравенства на $y$, сохранив знак неравенства:

$1 > y^2 \implies y^2 < 1$

Решением неравенства $y^2 < 1$ является интервал $-1 < y < 1$. Учитывая условие $y > 0$, получаем решение для этого случая: $0 < y < 1$.

Случай 2: $y < 0$. При умножении обеих частей на отрицательное число $y$, знак неравенства меняется на противоположный:

$1 < y^2 \implies y^2 > 1$

Решением неравенства $y^2 > 1$ является объединение интервалов $y < -1$ и $y > 1$. Учитывая условие $y < 0$, получаем решение для этого случая: $y < -1$.

Общее множество решений неравенства: $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Числа, являющиеся решениями:

1. Возьмем $y = 0.5$ (из интервала $(0, 1)$). Проверяем: $\frac{1}{0.5} > 0.5$, что равносильно $2 > 0.5$. Неравенство верное.

2. Возьмем $y = -2$ (из интервала $(-\infty, -1)$). Проверяем: $\frac{1}{-2} > -2$, что равносильно $-0.5 > -2$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями:

1. Возьмем $y = 1$. Проверяем: $\frac{1}{1} > 1$, что равносильно $1 > 1$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $y = 2$. Проверяем: $\frac{1}{2} > 2$, что равносильно $0.5 > 2$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 0.5 и -2; не являются решениями, например, числа 1 и 2.

в) $a > -a^2$

Заметим, что $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), поэтому $-a^2$ всегда неположительно ($-a^2 \le 0$).

Неравенство $a > -a^2$ будет верным для любого положительного числа $a$, так как любое положительное число больше любого неположительного.

Рассмотрим случай, когда $a$ - отрицательное число. Перенесем все члены в левую часть:

$a + a^2 > 0 \implies a(1+a) > 0$

Произведение двух сомножителей положительно, когда они оба положительны или оба отрицательны. Так как $a < 0$, то для выполнения неравенства второй сомножитель $(1+a)$ также должен быть отрицательным: $1+a < 0 \implies a < -1$.

Таким образом, решением неравенства является объединение $a > 0$ и $a < -1$.

Числа, являющиеся решениями:

1. Возьмем $a = 5$. Проверяем: $5 > -5^2$, что равносильно $5 > -25$. Неравенство верное.

2. Возьмем $a = -3$. Проверяем: $-3 > -(-3)^2$, что равносильно $-3 > -9$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями (числа из отрезка $[-1, 0]$):

1. Возьмем $a = 0$. Проверяем: $0 > -0^2$, что равносильно $0 > 0$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $a = -0.5$. Проверяем: $-0.5 > -(-0.5)^2$, что равносильно $-0.5 > -0.25$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 5 и -3; не являются решениями, например, числа 0 и -0.5.

г) $z \le z^2$

Перенесем $z$ в правую часть:

$0 \le z^2 - z$

$z^2 - z \ge 0$

Вынесем $z$ за скобки:

$z(z-1) \ge 0$

Произведение двух сомножителей неотрицательно, если они оба имеют одинаковый знак или один из них равен нулю.

Случай 1: Оба сомножителя неотрицательны. $z \ge 0$ и $z-1 \ge 0 \implies z \ge 1$. Это дает решение $z \ge 1$.

Случай 2: Оба сомножителя неположительны. $z \le 0$ и $z-1 \le 0 \implies z \le 1$. Пересечение этих условий дает $z \le 0$.

Общее множество решений: $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.

Числа, являющиеся решениями:

1. Возьмем $z = 2$ (из промежутка $[1, \infty)$). Проверяем: $2 \le 2^2$, что равносильно $2 \le 4$. Неравенство верное.

2. Возьмем $z = -1$ (из промежутка $(-\infty, 0]$). Проверяем: $-1 \le (-1)^2$, что равносильно $-1 \le 1$. Неравенство верное.

Числа, не являющиеся решениями (числа из интервала $(0, 1)$):

1. Возьмем $z = 0.5$. Проверяем: $0.5 \le (0.5)^2$, что равносильно $0.5 \le 0.25$. Неравенство неверное.

2. Возьмем $z = 0.9$. Проверяем: $0.9 \le (0.9)^2$, что равносильно $0.9 \le 0.81$. Неравенство неверное.

Ответ: являются решениями, например, числа 2 и -1; не являются решениями, например, числа 0.5 и 0.9.

52 Объясните, как из первого неравенства получено второе, ему равносильное:

а) $x + 3 < 7; x < 4;$

б) $3x \leq 15; x \leq 5;$

в) $-x \leq -7; x \geq 7;$

г) $-2x > 6; x < -3;$

д) $\frac{x}{3} > -1; x > -3;$

е) $\frac{x - 2}{4} < 4; x < 18.$

а) Чтобы из неравенства $x + 3 < 7$ получить равносильное ему неравенство $x < 4$, нужно перенести слагаемое 3 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный. Это равносильно вычитанию числа 3 из обеих частей неравенства. Знак неравенства при этом не изменяется.

$x + 3 - 3 < 7 - 3$

$x < 4$

Ответ: $x < 4$

б) Чтобы из неравенства $3x \le 15$ получить равносильное ему неравенство $x \le 5$, необходимо разделить обе части неравенства на положительное число 3. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется.

$\frac{3x}{3} \le \frac{15}{3}$

$x \le 5$

Ответ: $x \le 5$

в) Чтобы из неравенства $-x \le -7$ получить равносильное ему неравенство $x \ge 7$, необходимо умножить (или разделить) обе части неравенства на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства $\le$ меняется на противоположный, то есть на $\ge$.

$(-x) \cdot (-1) \ge (-7) \cdot (-1)$

$x \ge 7$

Ответ: $x \ge 7$

г) Чтобы из неравенства $-2x > 6$ получить равносильное ему неравенство $x < -3$, необходимо разделить обе части неравенства на отрицательное число -2. При делении на отрицательное число знак неравенства $>$ меняется на противоположный, то есть на $<$.

$\frac{-2x}{-2} < \frac{6}{-2}$

$x < -3$

Ответ: $x < -3$

д) Чтобы из неравенства $\frac{x}{3} > -1$ получить равносильное ему неравенство $x > -3$, необходимо умножить обе части неравенства на положительное число 3. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

$\frac{x}{3} \cdot 3 > -1 \cdot 3$

$x > -3$

Ответ: $x > -3$

е) Чтобы из неравенства $\frac{x - 2}{4} < 4$ получить равносильное ему неравенство $x < 18$, необходимо выполнить два последовательных равносильных преобразования. Сначала умножим обе части неравенства на положительное число 4, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\frac{x - 2}{4}) \cdot 4 < 4 \cdot 4$

$x - 2 < 16$

Затем, чтобы выделить $x$, прибавим к обеим частям полученного неравенства число 2. Знак неравенства также не изменится.

$x - 2 + 2 < 16 + 2$

$x < 18$

Ответ: $x < 18$

53. Составьте три неравенства, множеством решений которых является промежуток $(-5; +\infty)$.

Заданный промежуток $(-5; +\infty)$ соответствует всем значениям переменной $x$, удовлетворяющим строгому неравенству $x > -5$. Задача состоит в том, чтобы составить три различных неравенства, которые после алгебраических преобразований приводятся к этому виду.

Первое неравенство

Наиболее простой способ — это выполнить эквивалентное преобразование неравенства $x > -5$. Перенесем $-5$ в левую часть, изменив знак на противоположный.

Получим неравенство: $x + 5 > 0$.

Для проверки решим его:
$x + 5 > 0$
$x > -5$
Решение этого неравенства действительно является промежутком $(-5; +\infty)$.

Ответ: $x + 5 > 0$.

Второе неравенство

Составим более сложное неравенство, используя умножение на положительное число и сложение. Умножим обе части исходного неравенства $x > -5$ на $4$ (знак неравенства не изменится), а затем прибавим к обеим частям $1$.

$x > -5 \quad |\cdot 4 \implies 4x > -20$

$4x > -20 \quad |+1 \implies 4x + 1 > -19$

Получим неравенство: $4x + 1 > -19$.

Проверим его решение:
$4x + 1 > -19$
$4x > -19 - 1$
$4x > -20$
$x > \frac{-20}{4}$
$x > -5$
Множество решений — $(-5; +\infty)$.

Ответ: $4x + 1 > -19$.

Третье неравенство

Теперь составим неравенство, в котором коэффициент при переменной $x$ будет отрицательным. Для этого умножим обе части исходного неравенства $x > -5$ на отрицательное число, например на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с `>` на `<`).

$x > -5 \quad |\cdot (-2) \implies -2x < (-5) \cdot (-2)$

Получим неравенство: $-2x < 10$.

Проверим его решение:
$-2x < 10$
Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства с `<` на `>`:
$x > \frac{10}{-2}$
$x > -5$
Множество решений — $(-5; +\infty)$.

Ответ: $-2x < 10$.

54 Объясните, почему неравенство не имеет решений или его решением является любое число:

a) $x > x - 5$;

б) $x < x + 1$;

в) $-x^2 \leq 0$;

г) $x^2 + 1 \geq 0$;

д) $|x + 2| < 0.$

а) $x > x - 5$
Чтобы решить неравенство, перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть. Для этого вычтем $x$ из обеих частей неравенства:
$x - x > -5$
$0 > -5$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого значения $x$, так как любое число всегда больше числа, которое на 5 меньше его.
Ответ: решением является любое число.

б) $x < x + 1$
Вычтем $x$ из обеих частей неравенства:
$x - x < 1$
$0 < 1$
Полученное неравенство $0 < 1$ является верным и не зависит от $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$. Любое число всегда меньше числа, которое на 1 больше его.
Ответ: решением является любое число.

в) $-x^2 \le 0$
Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.
Если мы умножим обе части этого неравенства на $-1$, то знак неравенства изменится на противоположный:
$(-1) \cdot x^2 \le (-1) \cdot 0$
$-x^2 \le 0$
Таким образом, выражение $-x^2$ всегда будет меньше либо равно нулю для любого действительного числа $x$.
Ответ: решением является любое число.

г) $x^2 + 1 \ge 0$
Как мы установили в предыдущем пункте, $x^2 \ge 0$ для любого $x$.
Если к неотрицательному числу ($x^2$) прибавить положительное число (1), результат всегда будет положительным. Минимальное значение выражения $x^2 + 1$ достигается при $x=0$ и равно $0^2 + 1 = 1$.
Поскольку наименьшее значение левой части равно 1, а $1 \ge 0$, то неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.
Ответ: решением является любое число.

д) $|x + 2| < 0$
По определению, модуль (или абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что $|A| \ge 0$ для любого выражения $A$.
В данном случае $|x + 2| \ge 0$ при любом значении $x$.
Неравенство $|x + 2| < 0$ требует, чтобы неотрицательная величина была строго меньше нуля, что является невозможным.
Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором данное неравенство было бы верным.
Ответ: неравенство не имеет решений.

55. Решите неравенство; изобразите множество его решений на координатной прямой:

а) $5x + 3 \leq 8;$

б) $2x - 3 < 9;$

в) $6 - 2x < -4;$

г) $-12x - 4 > 12;$

д) $2 + \frac{x}{2} \leq -1;$

е) $\frac{x}{3} - 1 > -5;$

ж) $-\frac{1}{3}x + 7 < 3;$

з) $1 \geq 1 - \frac{x}{8}.$

а) $5x + 3 \le 8$

Для решения неравенства перенесем слагаемое 3 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$5x \le 8 - 3$

$5x \le 5$

Теперь разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \le 1$

Множество решений на координатной прямой представляет собой числовой луч, начинающийся в точке 1 и направленный влево. Точка 1 включается в решение (закрашенная точка), так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$

б) $2x - 3 < 9$

Перенесем -3 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$2x < 9 + 3$

$2x < 12$

Разделим обе части на 2:

$x < 6$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий влево от точки 6. Точка 6 не включается в решение (выколотая точка), так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-\infty, 6)$

в) $6 - 2x < -4$

Перенесем 6 в правую часть:

$-2x < -4 - 6$

$-2x < -10$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{-10}{-2}$

$x > 5$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий вправо от точки 5. Точка 5 выколота, так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$

г) $-12x - 4 > 12$

Перенесем -4 в правую часть:

$-12x > 12 + 4$

$-12x > 16$

Разделим обе части на -12 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{16}{-12}$

Сократим дробь:

$x < -\frac{4}{3}$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий влево от точки $-\frac{4}{3}$. Точка $-\frac{4}{3}$ выколота.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3)$

д) $2 + \frac{x}{2} \le -1$

Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{x}{2} \le -1 - 2$

$\frac{x}{2} \le -3$

Умножим обе части на 2 (знак неравенства не меняется):

$x \le -6$

Множество решений на координатной прямой — это числовой луч, идущий влево от точки -6. Точка -6 закрашена.

Ответ: $x \in (-\infty, -6]$

е) $\frac{x}{3} - 1 > -5$

Перенесем -1 в правую часть:

$\frac{x}{3} > -5 + 1$

$\frac{x}{3} > -4$

Умножим обе части на 3:

$x > -12$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий вправо от точки -12. Точка -12 выколота.

Ответ: $x \in (-12, +\infty)$

ж) $-\frac{1}{3}x + 7 < 3$

Перенесем 7 в правую часть:

$-\frac{1}{3}x < 3 - 7$

$-\frac{1}{3}x < -4$

Умножим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > (-4) \cdot (-3)$

$x > 12$

Множество решений на координатной прямой — это открытый числовой луч, идущий вправо от точки 12. Точка 12 выколота.

Ответ: $x \in (12, +\infty)$

з) $1 \ge 1 - \frac{x}{8}$

Перенесем 1 из правой части в левую:

$1 - 1 \ge -\frac{x}{8}$

$0 \ge -\frac{x}{8}$

Чтобы избавиться от знака минус в правой части, можно умножить обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$0 \le \frac{x}{8}$

Теперь умножим обе части на 8:

$0 \le x$, что эквивалентно $x \ge 0$.

Множество решений на координатной прямой — это числовой луч, идущий вправо от точки 0. Точка 0 закрашена.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$

Решите неравенство (№ 56–60):

56 а) $3y + 7 \le 1 - 5y$;

б) $5 - 4x > 2x - 4$;

в) $5 - 6y \ge 1 - 2y$;

г) $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \ge x + \frac{1}{4}$;

д) $-\frac{x}{4} - 3 < \frac{x}{8} - 1$;

е) $9 - y > 9 + \frac{y}{2}$;

ж) $4x + 1 < 2x - 3$;

з) $\frac{x}{2} + \frac{1}{6} \le \frac{2}{3} - x$;

и) $5y - 4 < 2 + y$.

а) $3y + 7 \le 1 - 5y$
Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть неравенства, а свободные члены - в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:
$3y + 5y \le 1 - 7$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$8y \le -6$
Разделим обе части неравенства на положительное число 8, при этом знак неравенства не меняется:
$y \le -\frac{6}{8}$
Сократим дробь:
$y \le -\frac{3}{4}$
Ответ: $y \in (-\infty; -3/4]$

б) $5 - 4x > 2x - 4$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую, меняя их знаки:
$5 + 4 > 2x + 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$9 > 6x$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства сохраняется.
$\frac{9}{6} > x$
Сократим дробь и запишем неравенство в более привычном виде, поменяв части местами и изменив знак неравенства на противоположный:
$x < \frac{3}{2}$
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5)$

в) $5 - 6y \ge 1 - 2y$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$5 - 1 \ge 6y - 2y$
Приведем подобные слагаемые:
$4 \ge 4y$
Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется.
$1 \ge y$
Запишем в привычном виде:
$y \le 1$
Ответ: $y \in (-\infty; 1]$

г) $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} \ge x + \frac{1}{4}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 4:
$4 \cdot (\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}) \ge 4 \cdot (x + \frac{1}{4})$
$4 \cdot \frac{3}{4}x - 4 \cdot \frac{1}{2} \ge 4x + 4 \cdot \frac{1}{4}$
$3x - 2 \ge 4x + 1$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$-2 - 1 \ge 4x - 3x$
$-3 \ge x$
Запишем в привычном виде:
$x \le -3$
Ответ: $x \in (-\infty; -3]$

д) $-\frac{x}{4} - 3 < \frac{x}{8} - 1$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 8:
$8 \cdot (-\frac{x}{4} - 3) < 8 \cdot (\frac{x}{8} - 1)$
$8 \cdot (-\frac{x}{4}) - 8 \cdot 3 < 8 \cdot \frac{x}{8} - 8 \cdot 1$
$-2x - 24 < x - 8$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены - в левую:
$-24 + 8 < x + 2x$
$-16 < 3x$
Разделим обе части на 3:
$-\frac{16}{3} < x$
Запишем в привычном виде:
$x > -\frac{16}{3}$
Ответ: $x \in (-16/3; +\infty)$

е) $9 - y > 9 + \frac{y}{2}$
Вычтем 9 из обеих частей неравенства:
$-y > \frac{y}{2}$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$-2y > y$
Перенесем слагаемое из правой части в левую:
$-2y - y > 0$
$-3y > 0$
Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$y < 0$
Ответ: $y \in (-\infty; 0)$

ж) $4x + 1 < 2x - 3$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$4x - 2x < -3 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$2x < -4$
Разделим обе части на 2:
$x < -2$
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

з) $\frac{x}{2} + \frac{1}{6} \le \frac{2}{3} - x$
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:
$6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{1}{6}) \le 6 \cdot (\frac{2}{3} - x)$
$3x + 1 \le 4 - 6x$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$3x + 6x \le 4 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$9x \le 3$
Разделим обе части на 9:
$x \le \frac{3}{9}$
Сократим дробь:
$x \le \frac{1}{3}$
Ответ: $x \in (-\infty; 1/3]$

и) $5y - 4 < 2 + y$
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены - в правую:
$5y - y < 2 + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$4y < 6$
Разделим обе части на 4:
$y < \frac{6}{4}$
Сократим дробь:
$y < \frac{3}{2}$
Ответ: $y \in (-\infty; 1.5)$

Решите неравенство (№ 56–60):

a) $14 \leq 2 - 2(x - 1)$;

б) $20 - 3(x + 3) \geq 5$;

в) $\frac{1}{2}(3x - 1) > 10$;

г) $6(x + 12) \geq 3(x - 4)$;

д) $5(3 - x) < 4(2 - x)$;

е) $8 > \frac{2}{3}(4x + 7)$;

ж) $(3x + 2) - 3(2x + 3) > 12$;

з) $x - 5(x - 4) < 6x + 20$;

и) $5(4x + 3) - 7(3x - 4) \leq 10$.

а) $14 \le 2 - 2(x - 1)$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$14 \le 2 - 2x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$14 \le 4 - 2x$

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть, а числовое значение в правую, изменив их знаки:

$2x \le 4 - 14$

$2x \le -10$

Разделим обе части на 2:

$x \le -5$

Ответ: $x \in (-\infty, -5]$

б) $20 - 3(x + 3) \ge 5$

Раскроем скобки:

$20 - 3x - 9 \ge 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$11 - 3x \ge 5$

Перенесем 11 в правую часть:

$-3x \ge 5 - 11$

$-3x \ge -6$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{-6}{-3}$

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$

в) $\frac{1}{2}(3x - 1) > 10$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x - 1 > 20$

Перенесем -1 в правую часть:

$3x > 20 + 1$

$3x > 21$

Разделим обе части на 3:

$x > 7$

Ответ: $x \in (7, +\infty)$

г) $6(x + 12) \ge 3(x - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6x + 72 \ge 3x - 12$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - 3x \ge -12 - 72$

Приведем подобные слагаемые:

$3x \ge -84$

Разделим обе части на 3:

$x \ge -28$

Ответ: $x \in [-28, +\infty)$

д) $5(3 - x) < 4(2 - x)$

Раскроем скобки:

$15 - 5x < 8 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$15 - 8 < 5x - 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$7 < x$

Или $x > 7$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$

е) $8 > \frac{2}{3}(4x + 7)$

Запишем неравенство в более привычном виде:

$\frac{2}{3}(4x + 7) < 8$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$2(4x + 7) < 24$

Раскроем скобки:

$8x + 14 < 24$

Перенесем 14 в правую часть:

$8x < 24 - 14$

$8x < 10$

Разделим обе части на 8:

$x < \frac{10}{8}$

Сократим дробь:

$x < \frac{5}{4}$ или $x < 1.25$

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{5}{4})$

ж) $(3x + 2) - 3(2x + 3) > 12$

Раскроем скобки:

$3x + 2 - 6x - 9 > 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x - 7 > 12$

Перенесем -7 в правую часть:

$-3x > 12 + 7$

$-3x > 19$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{19}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty, -6\frac{1}{3})$

з) $x - 5(x - 4) < 6x + 20$

Раскроем скобки:

$x - 5x + 20 < 6x + 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-4x + 20 < 6x + 20$

Вычтем 20 из обеих частей неравенства:

$-4x < 6x$

Перенесем $-4x$ в правую часть:

$0 < 6x + 4x$

$0 < 10x$

Разделим обе части на 10:

$0 < x$

Или $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$

и) $5(4x + 3) - 7(3x - 4) \le 10$

Раскроем скобки:

$20x + 15 - (21x - 28) \le 10$

$20x + 15 - 21x + 28 \le 10$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(20x - 21x) + (15 + 28) \le 10$

$-x + 43 \le 10$

Перенесем 43 в правую часть:

$-x \le 10 - 43$

$-x \le -33$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge 33$

Ответ: $x \in [33, +\infty)$

Решите неравенство (№ 56–60):

а) $\frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4}$;

б) $\frac{2x + 9}{5} > \frac{1 - 3x}{7}$;

в) $\frac{x + 17}{4} < \frac{3(10 + x)}{5}$;

г) $\frac{4x + 1}{2} \ge \frac{7x - 30}{6}$;

д) $\frac{2(x - 2)}{9} \le \frac{3 + x}{7}$;

е) $\frac{9 - 2x}{3} > \frac{12 - x}{6}$.

Для решения неравенства $\frac{12 - 2x}{3} > \frac{3x - 1}{4}$ умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12. Так как 12 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$4(12 - 2x) > 3(3x - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$48 - 8x > 9x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, изменяя их знаки при переносе:

$48 + 3 > 9x + 8x$

Приведем подобные слагаемые:

$51 > 17x$

Разделим обе части неравенства на 17:

$3 > x$, что равносильно $x < 3$.

Ответ: $(-\infty; 3)$.

Для решения неравенства $\frac{2x + 9}{5} > \frac{1 - 3x}{7}$ умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 7, то есть на 35.

$7(2x + 9) > 5(1 - 3x)$

Раскроем скобки:

$14x + 63 > 5 - 15x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$14x + 15x > 5 - 63$

Приведем подобные слагаемые:

$29x > -58$

Разделим обе части неравенства на 29:

$x > -2$.

Ответ: $(-2; +\infty)$.

Для решения неравенства $\frac{x + 17}{4} < \frac{3(10 + x)}{5}$ умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20.

$5(x + 17) < 4 \cdot 3(10 + x)$

$5(x + 17) < 12(10 + x)$

Раскроем скобки:

$5x + 85 < 120 + 12x$

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены — в левую:

$85 - 120 < 12x - 5x$

Приведем подобные слагаемые:

$-35 < 7x$

Разделим обе части на 7:

$-5 < x$, что равносильно $x > -5$.

Ответ: $(-5; +\infty)$.

Для решения неравенства $\frac{4x + 1}{2} \ge \frac{7x - 30}{6}$ умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 6, то есть на 6.

$3(4x + 1) \ge 7x - 30$

Раскроем скобки:

$12x + 3 \ge 7x - 30$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$12x - 7x \ge -30 - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$5x \ge -33$

Разделим обе части на 5:

$x \ge -\frac{33}{5}$ или $x \ge -6.6$.

Ответ: $[-6.6; +\infty)$.

Для решения неравенства $\frac{2(x - 2)}{9} \le \frac{3 + x}{7}$ умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 9 и 7, то есть на 63.

$7 \cdot 2(x - 2) \le 9(3 + x)$

$14(x - 2) \le 9(3 + x)$

Раскроем скобки:

$14x - 28 \le 27 + 9x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$14x - 9x \le 27 + 28$

Приведем подобные слагаемые:

$5x \le 55$

Разделим обе части на 5:

$x \le 11$.

Ответ: $(-\infty; 11]$.

Для решения неравенства $\frac{9 - 2x}{3} > \frac{12 - x}{6}$ умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, то есть на 6.

$2(9 - 2x) > 12 - x$

Раскроем скобки:

$18 - 4x > 12 - x$

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены — в левую:

$18 - 12 > 4x - x$

Приведем подобные слагаемые:

$6 > 3x$

Разделим обе части на 3:

$2 > x$, что равносильно $x < 2$.

Ответ: $(-\infty; 2)$.