Номер 72, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 72, страница 25.

72. При каких значениях параметра $a$ квадратное уравнение не имеет корней:

a) $ax^2 - 10x + 15 = 0$;

б) $ax^2 + 2x - 5 = 0$?

Для каждого уравнения приведите три примера значений $a$, при которых множество решений уравнения пусто.

а) $ax^2 - 10x + 15 = 0$

Данное уравнение является квадратным при $a \neq 0$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ меньше нуля.

Вычислим дискриминант для этого уравнения. Коэффициенты: $A = a$, $B = -10$, $C = 15$.

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставляем значения: $D = (-10)^2 - 4 \cdot a \cdot 15 = 100 - 60a$.

Чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство $D < 0$:

$100 - 60a < 0$

$100 < 60a$

$a > \frac{100}{60}$, что после сокращения дроби дает $a > \frac{5}{3}$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 - 10x + 15 = 0 \implies -10x + 15 = 0$.

Решая это уравнение, получаем $10x = 15$, откуда $x = 1.5$.

Так как при $a=0$ уравнение имеет один корень, это значение не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, исходное уравнение не имеет корней только при $a > \frac{5}{3}$.

Примеры трех значений параметра $a$, при которых множество решений уравнения пусто: $a = 2$, $a = 3$, $a = 10$.

Ответ: Уравнение не имеет корней при $a > \frac{5}{3}$. Примеры значений $a$: 2, 3, 10.

б) $ax^2 + 2x - 5 = 0$

Рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$. Условие отсутствия корней — отрицательный дискриминант ($D < 0$).

Коэффициенты данного уравнения: $A = a$, $B = 2$, $C = -5$.

Вычисляем дискриминант: $D = B^2 - 4AC = 2^2 - 4 \cdot a \cdot (-5) = 4 + 20a$.

Решаем неравенство $D < 0$:

$4 + 20a < 0$

$20a < -4$

$a < -\frac{4}{20}$, что после сокращения дроби дает $a < -\frac{1}{5}$.

Далее рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 2x - 5 = 0 \implies 2x - 5 = 0$.

Решение этого уравнения: $2x = 5$, откуда $x = 2.5$.

Поскольку при $a=0$ существует корень, это значение параметра не подходит.

Таким образом, исходное уравнение не имеет корней только при $a < -\frac{1}{5}$.

Примеры трех значений параметра $a$, при которых множество решений уравнения пусто: $a = -1$, $a = -5$, $a = -100$.

Ответ: Уравнение не имеет корней при $a < -\frac{1}{5}$. Примеры значений $a$: -1, -5, -100.