Номер 77, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 77, страница 28.

77 Решите систему неравенств и определите, сколько целых решений она имеет:

а) $\begin{cases} x - 4 > -3, \\ x + 6 < 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} z - 2 > 3, \\ z + 5 \ge -3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 6 - y > 2, \\ 5 + y > 8; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2 \le -2, \\ 2 - x \le 8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 2y + 1 \le 1, \\ 2y + 3 \ge -2; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 5 + 2z > 7, \\ 3z - 5 < 4. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств $\begin{cases} x - 4 > -3 \\ x + 6 < 10 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $x - 4 > -3 \implies x > -3 + 4 \implies x > 1$
2) $x + 6 < 10 \implies x < 10 - 6 \implies x < 4$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $1 < x < 4$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству, это 2 и 3. Всего 2 целых решения.
Ответ: 2.

б) Решим систему неравенств $\begin{cases} z - 2 > 3 \\ z + 5 \ge -3 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $z - 2 > 3 \implies z > 3 + 2 \implies z > 5$
2) $z + 5 \ge -3 \implies z \ge -3 - 5 \implies z \ge -8$
Решением системы является пересечение условий $z > 5$ и $z \ge -8$, что равносильно $z > 5$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству: 6, 7, 8, и так далее. Таких чисел бесконечно много.
Ответ: бесконечно много.

в) Решим систему неравенств $\begin{cases} 6 - y > 2 \\ 5 + y > 8 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $6 - y > 2 \implies -y > 2 - 6 \implies -y > -4 \implies y < 4$
2) $5 + y > 8 \implies y > 8 - 5 \implies y > 3$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $3 < y < 4$.
В интервале $(3, 4)$ нет целых чисел.
Ответ: 0.

г) Решим систему неравенств $\begin{cases} x + 2 \le -2 \\ 2 - x \le 8 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $x + 2 \le -2 \implies x \le -2 - 2 \implies x \le -4$
2) $2 - x \le 8 \implies -x \le 8 - 2 \implies -x \le 6 \implies x \ge -6$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $-6 \le x \le -4$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству, это -6, -5, -4. Всего 3 целых решения.
Ответ: 3.

д) Решим систему неравенств $\begin{cases} 2y + 1 \le 1 \\ 2y + 3 \ge -2 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $2y + 1 \le 1 \implies 2y \le 1 - 1 \implies 2y \le 0 \implies y \le 0$
2) $2y + 3 \ge -2 \implies 2y \ge -2 - 3 \implies 2y \ge -5 \implies y \ge -2.5$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $-2.5 \le y \le 0$.
Целые числа, которые удовлетворяют этому двойному неравенству, это -2, -1, 0. Всего 3 целых решения.
Ответ: 3.

е) Решим систему неравенств $\begin{cases} 5 + 2z > 7 \\ 3z - 5 < 4 \end{cases}$.
Решая каждое неравенство в системе отдельно, получаем:
1) $5 + 2z > 7 \implies 2z > 7 - 5 \implies 2z > 2 \implies z > 1$
2) $3z - 5 < 4 \implies 3z < 4 + 5 \implies 3z < 9 \implies z < 3$
Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть $1 < z < 3$.
Единственное целое число, которое удовлетворяет этому двойному неравенству, это 2.
Ответ: 1.