Номер 81, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 81, страница 28.

Решите систему неравенств (№ 78–81):

a) $$\begin{cases}\frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3, \\21 - x > 1;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\frac{x}{3} + x < 2, \\2x - 4 < 0;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}2y > -3, \\\frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2};\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}3y + 4 > 4, \\\frac{y}{5} - y \ge 8.\end{cases}$$

а)

Решим первое неравенство системы:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{5} > 3$

Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть к общему знаменателю 10:

$\frac{5x}{10} - \frac{2x}{10} > 3$

$\frac{3x}{10} > 3$

Умножим обе части неравенства на 10:

$3x > 30$

Разделим обе части на 3:

$x > 10$

Теперь решим второе неравенство системы:

$21 - x > 1$

Перенесем 21 в правую часть:

$-x > 1 - 21$

$-x > -20$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 20$

Мы получили два условия: $x > 10$ и $x < 20$. Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть все числа, которые больше 10 и одновременно меньше 20.

Ответ: $(10; 20)$.

б)

Решим первое неравенство системы:

$\frac{x}{3} + x < 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю 3:

$\frac{x}{3} + \frac{3x}{3} < 2$

$\frac{4x}{3} < 2$

Умножим обе части на 3:

$4x < 6$

Разделим обе части на 4:

$x < \frac{6}{4}$ или $x < \frac{3}{2}$

Теперь решим второе неравенство системы:

$2x - 4 < 0$

Перенесем -4 в правую часть:

$2x < 4$

Разделим обе части на 2:

$x < 2$

Мы получили два условия: $x < \frac{3}{2}$ и $x < 2$. Пересечением этих двух множеств является множество чисел, удовлетворяющих самому строгому неравенству, то есть $x < \frac{3}{2}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{3}{2})$.

в)

Решим первое неравенство системы:

$2y > -3$

Разделим обе части на 2:

$y > -\frac{3}{2}$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{y}{8} - \frac{y}{4} \le \frac{1}{2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{y}{8} - \frac{2y}{8} \le \frac{4}{8}$

$\frac{-y}{8} \le \frac{4}{8}$

Умножим обе части на 8:

$-y \le 4$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$y \ge -4$

Мы получили два условия: $y > -\frac{3}{2}$ и $y \ge -4$. Так как $-\frac{3}{2} = -1.5$, то условие $y > -1.5$ является более строгим, чем $y \ge -4$. Пересечением этих множеств будет $y > -\frac{3}{2}$.

Ответ: $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.

г)

Решим первое неравенство системы:

$3y + 4 > 4$

Вычтем 4 из обеих частей:

$3y > 0$

Разделим обе части на 3:

$y > 0$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{y}{5} - y \ge 8$

Приведем левую часть к общему знаменателю 5:

$\frac{y}{5} - \frac{5y}{5} \ge 8$

$\frac{-4y}{5} \ge 8$

Умножим обе части на 5:

$-4y \ge 40$

Разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный:

$y \le -10$

Мы получили два условия: $y > 0$ и $y \le -10$. Не существует чисел, которые одновременно больше 0 и меньше или равны -10. Следовательно, пересечение этих множеств пусто.

Ответ: нет решений.