Номер 74, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.4 Решение линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 74, страница 25.

74 а) Найдите все целые положительные значения $c$, при которых можно разложить на множители квадратный трёхчлен $2x^2 + 8x + c$.

б) Найдите все целые отрицательные значения $c$, при которых можно разложить на множители квадратный трёхчлен $5x^2 - 10x - c$.

а)

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители (в поле действительных чисел), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Для трёхчлена $2x^2 + 8x + c$ коэффициенты равны $a = 2$, $b = 8$. Свободный член равен $c$.

Найдём дискриминант этого трёхчлена:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = 64 - 8c$.

Применим условие $D \ge 0$:

$64 - 8c \ge 0$.

Решим это неравенство относительно $c$:

$64 \ge 8c$

$c \le 8$.

Согласно условию задачи, мы ищем все целые положительные значения $c$. Это означает, что $c$ должно быть целым числом, большим нуля.

Объединяя два условия ($c$ — целое положительное и $c \le 8$), получаем, что $c$ может принимать значения $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Ответ: $c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

б)

Для квадратного трёхчлена $5x^2 - 10x - c$ условие возможности разложения на множители остаётся тем же: его дискриминант $D$ должен быть неотрицателен.

Коэффициенты этого трёхчлена: $a=5$, $b=-10$. Важно заметить, что свободный член здесь равен $-c$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4a(\text{свободный член}) = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-c) = 100 + 20c$.

Условие $D \ge 0$ даёт нам следующее неравенство:

$100 + 20c \ge 0$.

Решим его относительно $c$:

$20c \ge -100$

$c \ge -5$.

По условию задачи, требуется найти все целые отрицательные значения $c$. Это означает, что $c$ должно быть целым числом, меньшим нуля.

Объединяя условия ($c$ — целое отрицательное и $c \ge -5$), находим все подходящие значения $c$: $-5, -4, -3, -2, -1$.

Ответ: $c \in \{-5, -4, -3, -2, -1\}$.