Номер 78, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 78, страница 28.

Решите систему неравенств (№ 78–81):

78 a) $\begin{cases} x + 5 > 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5y - 20 < 0, \\ 2y + 5 > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 8 - 4z > 0, \\ 5z - 3 < 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3 - 5y \ge 0, \\ 4y - 1 \ge 0; \end{cases}$

д) $\begin{cases} 3 - 9x > 0, \\ 3 - 6x < 0; \end{cases}$

е) $\begin{cases} 3z + 4 < 0, \\ 3z + 1 < 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x + 5 > 0, \\ x - 2 > 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $x + 5 > 0$. Переносим 5 в правую часть, меняя знак: $x > -5$.
2. Решаем второе неравенство: $x - 2 > 0$. Переносим 2 в правую часть, меняя знак: $x > 2$.
3. Найдем пересечение полученных решений. На числовой прямой отметим оба интервала. Решением системы будет общая часть, где выполняются оба условия: $x > -5$ и $x > 2$. Это интервал $x > 2$.
В виде интервала: $(2, +\infty)$.
Ответ: $(2, +\infty)$.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5y - 20 < 0, \\ 2y + 5 > 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $5y - 20 < 0$. Переносим 20 в правую часть: $5y < 20$. Делим обе части на 5: $y < 4$.
2. Решаем второе неравенство: $2y + 5 > 0$. Переносим 5 в правую часть: $2y > -5$. Делим обе части на 2: $y > -2.5$.
3. Объединяем решения: нам нужны значения $y$, которые одновременно меньше 4 и больше -2.5. Это интервал $-2.5 < y < 4$.
В виде интервала: $(-2.5, 4)$.
Ответ: $(-2.5, 4)$.

в) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8 - 4z > 0, \\ 5z - 3 < 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $8 - 4z > 0$. Переносим $4z$ в правую часть: $8 > 4z$. Делим обе части на 4: $2 > z$, что эквивалентно $z < 2$.
2. Решаем второе неравенство: $5z - 3 < 0$. Переносим 3 в правую часть: $5z < 3$. Делим обе части на 5: $z < \frac{3}{5}$ или $z < 0.6$.
3. Найдем пересечение решений: $z < 2$ и $z < 0.6$. Если число меньше 0.6, оно автоматически меньше 2. Следовательно, решением системы является $z < 0.6$.
В виде интервала: $(-\infty, 0.6)$.
Ответ: $(-\infty, 0.6)$.

г) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3 - 5y \ge 0, \\ 4y - 1 \ge 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $3 - 5y \ge 0$. Переносим $5y$ в правую часть: $3 \ge 5y$. Делим обе части на 5: $\frac{3}{5} \ge y$, что эквивалентно $y \le 0.6$.
2. Решаем второе неравенство: $4y - 1 \ge 0$. Переносим 1 в правую часть: $4y \ge 1$. Делим обе части на 4: $y \ge \frac{1}{4}$ или $y \ge 0.25$.
3. Объединяем решения: $y \le 0.6$ и $y \ge 0.25$. Это интервал $0.25 \le y \le 0.6$.
В виде интервала: $[0.25, 0.6]$.
Ответ: $[0.25, 0.6]$.

д) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3 - 9x > 0, \\ 3 - 6x < 0; \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $3 - 9x > 0$. Переносим $9x$ в правую часть: $3 > 9x$. Делим обе части на 9: $\frac{3}{9} > x$, что эквивалентно $x < \frac{1}{3}$.
2. Решаем второе неравенство: $3 - 6x < 0$. Переносим $6x$ в правую часть: $3 < 6x$. Делим обе части на 6: $\frac{3}{6} < x$, что эквивалентно $x > \frac{1}{2}$.
3. Найдем пересечение решений: $x < \frac{1}{3}$ и $x > \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, не существует числа, которое было бы одновременно меньше $\frac{1}{3}$ и больше $\frac{1}{2}$. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: нет решений.

е) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 3z + 4 < 0, \\ 3z + 1 < 0. \end{cases} $
1. Решаем первое неравенство: $3z + 4 < 0$. Переносим 4 в правую часть: $3z < -4$. Делим обе части на 3: $z < -\frac{4}{3}$.
2. Решаем второе неравенство: $3z + 1 < 0$. Переносим 1 в правую часть: $3z < -1$. Делим обе части на 3: $z < -\frac{1}{3}$.
3. Найдем пересечение решений: $z < -\frac{4}{3}$ и $z < -\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{4}{3} < -\frac{1}{3}$ (поскольку $-1.33... < -0.33...$), если число меньше $-\frac{4}{3}$, оно автоматически будет меньше и $-\frac{1}{3}$. Значит, решением системы является $z < -\frac{4}{3}$.
В виде интервала: $(-\infty, -\frac{4}{3})$.
Ответ: $(-\infty, -\frac{4}{3})$.