Номер 83, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 83, страница 28.

83 Решите систему неравенств (№ 83-84):

a) $$ \begin{cases} 3 - \frac{x-1}{2} > 1, \\ 2x + \frac{x}{3} < 7; \end{cases} $$

б) $$ \begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4}, \\ 5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1; \end{cases} $$

в) $$ \begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{x+1}{6} < \frac{x+1}{3}, \\ \frac{x-3}{4} + x < 2x - \frac{x-3}{8}. \end{cases} $$

а)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 3 - \frac{x-1}{2} > 1 \\ 2x + \frac{x}{3} < 7 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $3 - \frac{x-1}{2} > 1$.

Перенесем 3 в правую часть неравенства:

$-\frac{x-1}{2} > 1 - 3$

$-\frac{x-1}{2} > -2$

Умножим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x-1 < (-2) \cdot (-2)$

$x-1 < 4$

Перенесем -1 в правую часть:

$x < 4 + 1$

$x < 5$

2. Решим второе неравенство $2x + \frac{x}{3} < 7$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 3:

$3 \cdot (2x + \frac{x}{3}) < 3 \cdot 7$

$6x + x < 21$

$7x < 21$

Разделим обе части на 7:

$x < \frac{21}{7}$

$x < 3$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств.

Первое неравенство выполняется при $x < 5$, второе — при $x < 3$. Чтобы система выполнялась, должны выполняться оба условия. Следовательно, решением системы является пересечение этих множеств, то есть $x < 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

б)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4} \\ 5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1 \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $1 - \frac{2x+3}{3} > 2 - \frac{x+1}{4}$.

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, который равен 12:

$12 \cdot 1 - 12 \cdot \frac{2x+3}{3} > 12 \cdot 2 - 12 \cdot \frac{x+1}{4}$

$12 - 4(2x+3) > 24 - 3(x+1)$

Раскроем скобки:

$12 - 8x - 12 > 24 - 3x - 3$

$-8x > 21 - 3x$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-8x + 3x > 21$

$-5x > 21$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства:

$x < -\frac{21}{5}$

$x < -4.2$

2. Решим второе неравенство $5(x-4) - 8 > 6(2x-1) - 1$.

Раскроем скобки:

$5x - 20 - 8 > 12x - 6 - 1$

$5x - 28 > 12x - 7$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-28 + 7 > 12x - 5x$

$-21 > 7x$

Разделим обе части на 7:

$-3 > x$, или $x < -3$.

3. Найдем пересечение решений.

Первое неравенство выполняется при $x < -4.2$, второе — при $x < -3$. Пересечением этих множеств является $x < -4.2$, так как это более сильное условие.

Ответ: $x \in (-\infty; -4.2)$.

в)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{x+1}{6} < \frac{x+1}{3} \\ \frac{x-3}{4} + x < 2x - \frac{x-3}{8} \end{cases} $$

1. Решим первое неравенство $\frac{x+1}{4} - \frac{x+1}{6} < \frac{x+1}{3}$.

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{x+1}{4} - 12 \cdot \frac{x+1}{6} < 12 \cdot \frac{x+1}{3}$

$3(x+1) - 2(x+1) < 4(x+1)$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 2x - 2 < 4x + 4$

$x + 1 < 4x + 4$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$1 - 4 < 4x - x$

$-3 < 3x$

Разделим на 3:

$-1 < x$, или $x > -1$.

2. Решим второе неравенство $\frac{x-3}{4} + x < 2x - \frac{x-3}{8}$.

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 8:

$8 \cdot \frac{x-3}{4} + 8 \cdot x < 8 \cdot 2x - 8 \cdot \frac{x-3}{8}$

$2(x-3) + 8x < 16x - (x-3)$

Раскроем скобки:

$2x - 6 + 8x < 16x - x + 3$

$10x - 6 < 15x + 3$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-6 - 3 < 15x - 10x$

$-9 < 5x$

Разделим на 5:

$-\frac{9}{5} < x$, или $x > -1.8$.

3. Найдем пересечение решений.

Первое неравенство выполняется при $x > -1$, второе — при $x > -1.8$. Пересечением этих множеств является $x > -1$, так как это более сильное условие.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.