Номер 88, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 88, страница 29.

88 1) Найдите промежуток, на котором функции $y = 2x - 4$ и $y = -\frac{1}{2}x - 2$ одновременно принимают отрицательные значения.

2) Проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков; отметьте на оси $x$ соответствующий промежуток.

3) Укажите какое-нибудь значение аргумента, не принадлежащее отмеченному промежутку, и определите знак каждой из функций при этом значении.

4) Существуют ли значения аргумента, при которых обе функции принимают положительные значения? Проверьте свой ответ, решив систему неравенств.

1)Чтобы найти промежуток, на котором обе функции принимают отрицательные значения, необходимо решить систему неравенств:

$\begin{cases}y < 0 \\y < 0\end{cases}$

Подставим выражения для каждой функции:

$\begin{cases}2x - 4 < 0 \\-\frac{1}{2}x - 2 < 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$2x < 4$
$x < 2$

Решим второе неравенство:
$-\frac{1}{2}x < 2$
Умножим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:
$x > -4$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 2$ и $x > -4$. Это соответствует промежутку, где выполняются оба условия.
Таким образом, обе функции одновременно принимают отрицательные значения на промежутке $(-4; 2)$.
Ответ: $(-4; 2)$.

2)Для иллюстрации решения построим графики линейных функций $y = 2x - 4$ (синяя линия) и $y = -\frac{1}{2}x - 2$ (красная линия).

• График функции $y = 2x - 4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(2, 0)$.
• График функции $y = -\frac{1}{2}x - 2$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(-4, 0)$.

На графике видно, что обе линии находятся ниже оси $x$ (то есть значения $y$ отрицательны) в интервале между $x = -4$ и $x = 2$. Этот промежуток выделен на оси $x$ зеленой линией.

Ответ: Графическая иллюстрация решения представлена выше.

3)Выберем значение аргумента $x$, не принадлежащее отмеченному промежутку $(-4; 2)$. Например, возьмем $x = 3$.
Определим знак каждой из функций при этом значении:
1) Для функции $y = 2x - 4$:
$y(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$.
Значение функции положительное.
2) Для функции $y = -\frac{1}{2}x - 2$:
$y(3) = -\frac{1}{2} \cdot 3 - 2 = -1.5 - 2 = -3.5$.
Значение функции отрицательное.
Ответ: Например, при $x = 3$. Знак функции $y = 2x - 4$ — положительный ($y = 2$), а знак функции $y = -\frac{1}{2}x - 2$ — отрицательный ($y = -3.5$).

4)Чтобы выяснить, существуют ли значения аргумента, при которых обе функции принимают положительные значения, решим систему неравенств:

$\begin{cases}2x - 4 > 0 \\-\frac{1}{2}x - 2 > 0\end{cases}$

Решим первое неравенство:
$2x > 4$
$x > 2$

Решим второе неравенство:
$-\frac{1}{2}x > 2$
$x < -4$ (знак неравенства меняется при умножении на отрицательное число)

Нужно найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x > 2$ и $x < -4$. Таких чисел не существует, так как нет числа, которое было бы одновременно больше 2 и меньше -4. Пересечение множеств решений $(2; +\infty)$ и $(-\infty; -4)$ является пустым множеством.
Ответ: Нет, таких значений аргумента не существует, так как система неравенств не имеет решений.