Номер 89, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.5 Решение систем линейных неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 89, страница 29.

89. Определите, при каких значениях $a$ данное выражение имеет смысл; приведите пример рационального и иррационального значений $a$, при которых данное выражение имеет смысл; при которых оно не имеет смысла:

а) $\sqrt{a + 2} + \sqrt{a - 2};$

б) $\sqrt{2a + 3} - \sqrt{3 - a}.$

а)

Выражение $\sqrt{a+2} + \sqrt{a-2}$ имеет смысл, если подкоренные выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} a + 2 \ge 0 \\ a - 2 \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} a \ge -2 \\ a \ge 2 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является $a \ge 2$. Таким образом, выражение имеет смысл при $a \in [2, +\infty)$.

Приведем примеры:

- Рациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = 3$. Это значение удовлетворяет условию $a \ge 2$.

- Иррациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = \pi$. Это значение удовлетворяет условию $\pi \approx 3.14 \ge 2$.

- Значение $a$, при котором выражение не имеет смысла: $a = 1$. Это значение не удовлетворяет условию $a \ge 2$. При $a = 1$ выражение $\sqrt{a-2}$ становится равным $\sqrt{-1}$, что не определено в действительных числах.

Ответ: выражение имеет смысл при $a \ge 2$. Пример рационального значения $a=3$, иррационального $a=\pi$. Выражение не имеет смысла, например, при $a=1$.

б)

Выражение $\sqrt{2a+3} - \sqrt{3-a}$ имеет смысл, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2a + 3 \ge 0 \\ 3 - a \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

$ \begin{cases} 2a \ge -3 \\ 3 \ge a \end{cases} $

$ \begin{cases} a \ge -1.5 \\ a \le 3 \end{cases} $

Таким образом, выражение имеет смысл при $-1.5 \le a \le 3$, или $a \in [-1.5, 3]$.

Приведем примеры:

- Рациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = 2$. Это значение находится в отрезке $[-1.5, 3]$.

- Иррациональное значение $a$, при котором выражение имеет смысл: $a = \sqrt{2}$. Это значение удовлетворяет условию $-1.5 \le \sqrt{2} \approx 1.414 \le 3$.

- Значение $a$, при котором выражение не имеет смысла: $a = 4$. Это значение не входит в отрезок $[-1.5, 3]$. При $a = 4$ выражение $\sqrt{3-a}$ становится равным $\sqrt{-1}$, что не определено в действительных числах.

Ответ: выражение имеет смысл при $-1.5 \le a \le 3$. Пример рационального значения $a=2$, иррационального $a=\sqrt{2}$. Выражение не имеет смысла, например, при $a=4$.