Номер 97, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

1.6 Доказательство неравенств. Глава 1. Неравенства - номер 97, страница 33.

97 Пусть a, b, c и d — положительные числа. Докажите, что $\frac{a}{b} \ge \frac{c}{d}$ в том и только том случае, когда $ad \ge bc$. Пользуясь этим фактом, сравните дроби:

$\frac{6}{19}$ и $\frac{7}{18}$; $\frac{8}{23}$ и $\frac{7}{24}$.

Докажем, что неравенство $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $ для положительных чисел $a, b, c, d$ является равносильным неравенству $ ad \ge bc $. Доказательство "в том и только том случае" требует доказательства в обе стороны.

1. Докажем, что если $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $, то $ ad \ge bc $.

Пусть дано неравенство $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $. По условию, числа $b$ и $d$ положительны, следовательно, их произведение $bd$ также положительно. Мы можем умножить обе части неравенства на положительное число $bd$, при этом знак неравенства не изменится:

$ \frac{a}{b} \cdot bd \ge \frac{c}{d} \cdot bd $

Сокращая $b$ в левой части и $d$ в правой, получаем:

$ ad \ge cb $, что то же самое, что и $ ad \ge bc $.

2. Докажем, что если $ ad \ge bc $, то $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $.

Пусть дано неравенство $ ad \ge bc $. Так как $b > 0$ и $d > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $bd$, не меняя знака неравенства:

$ \frac{ad}{bd} \ge \frac{bc}{bd} $

Сокращая $d$ в левой части и $b$ в правой, получаем:

$ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $.

Таким образом, мы доказали, что неравенство $ \frac{a}{b} \ge \frac{c}{d} $ истинно в том и только в том случае, когда $ ad \ge bc $.

Теперь воспользуемся этим фактом для сравнения дробей.

$\frac{6}{19}$ и $\frac{7}{18}$

Чтобы сравнить дроби $ \frac{6}{19} $ и $ \frac{7}{18} $, мы можем сравнить произведения "крест-накрест". Здесь $a=6, b=19, c=7, d=18$.

Вычислим произведение $ad$ и $bc$:

$ad = 6 \cdot 18 = 108$

$bc = 19 \cdot 7 = 133$

Сравниваем полученные значения: $ 108 < 133 $.

Так как $ad < bc$, то и $ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} $.

Ответ: $ \frac{6}{19} < \frac{7}{18} $.

$\frac{8}{23}$ и $\frac{7}{24}$

Чтобы сравнить дроби $ \frac{8}{23} $ и $ \frac{7}{24} $, сравним произведения "крест-накрест". Здесь $a=8, b=23, c=7, d=24$.

Вычислим произведение $ad$ и $bc$:

$ad = 8 \cdot 24 = 192$

$bc = 23 \cdot 7 = 161$

Сравниваем полученные значения: $ 192 > 161 $.

Так как $ad > bc$, то и $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $.

Ответ: $ \frac{8}{23} > \frac{7}{24} $.