Страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

107 Запишите результат каждого измерения с указанием его точности (т.е. в форме $a \pm h$) и в виде двойного неравенства:

а) $l \approx 18,3 \text{ см};$

б) $V \approx 20 \text{ л};$

в) $t \approx 26,78 \text{ с};$

г) $l \approx 0,2480 \text{ м};$

д) $S \approx 65,2 \text{ м}^2;$

е) $\rho \approx 10,50 \text{ г}/\text{см}^3;$

ж) $T \approx 99,975 ^\circ \text{C};$

з) $I \approx 1,5 \text{ А}.$

Для записи результата измерения в требуемых формах необходимо определить его точность (абсолютную погрешность) $h$. Если погрешность не указана, её принимают равной половине единицы последнего значащего разряда в записи приближенного значения $a$.

а) Дано значение $l \approx 18,3$ см. Последняя значащая цифра (3) находится в разряде десятых. Точность измерения $h$ равна половине единицы этого разряда: $h = 0,1 / 2 = 0,05$ см.
Запись в форме $a \pm h$: $l = (18,3 \pm 0,05)$ см.
Запись в виде двойного неравенства: $18,3 - 0,05 \le l \le 18,3 + 0,05$, что дает $18,25 \text{ см} \le l \le 18,35 \text{ см}$.
Ответ: $l = (18,3 \pm 0,05)$ см; $18,25 \text{ см} \le l \le 18,35 \text{ см}$.

б) Дано значение $V \approx 20$ л. Предполагаем, что в этом числе две значащие цифры, то есть оно измерено с точностью до единиц. Последний значащий разряд — единицы. Точность $h = 1 / 2 = 0,5$ л.
Запись в форме $a \pm h$: $V = (20 \pm 0,5)$ л.
Запись в виде двойного неравенства: $20 - 0,5 \le V \le 20 + 0,5$, что дает $19,5 \text{ л} \le V \le 20,5 \text{ л}$.
Ответ: $V = (20 \pm 0,5)$ л; $19,5 \text{ л} \le V \le 20,5 \text{ л}$.

в) Дано значение $t \approx 26,78$ с. Последняя значащая цифра (8) находится в разряде сотых. Точность $h = 0,01 / 2 = 0,005$ с.
Запись в форме $a \pm h$: $t = (26,78 \pm 0,005)$ с.
Запись в виде двойного неравенства: $26,78 - 0,005 \le t \le 26,78 + 0,005$, что дает $26,775 \text{ с} \le t \le 26,785 \text{ с}$.
Ответ: $t = (26,78 \pm 0,005)$ с; $26,775 \text{ с} \le t \le 26,785 \text{ с}$.

г) Дано значение $l \approx 0,2480$ м. Ноль в конце означает, что он является значащей цифрой. Последний значащий разряд — десятитысячные. Точность $h = 0,0001 / 2 = 0,00005$ м.
Запись в форме $a \pm h$: $l = (0,2480 \pm 0,00005)$ м.
Запись в виде двойного неравенства: $0,2480 - 0,00005 \le l \le 0,2480 + 0,00005$, что дает $0,24795 \text{ м} \le l \le 0,24805 \text{ м}$.
Ответ: $l = (0,2480 \pm 0,00005)$ м; $0,24795 \text{ м} \le l \le 0,24805 \text{ м}$.

д) Дано значение $S \approx 65,2 \text{ м}^2$. Последняя значащая цифра (2) находится в разряде десятых. Точность $h = 0,1 / 2 = 0,05 \text{ м}^2$.
Запись в форме $a \pm h$: $S = (65,2 \pm 0,05) \text{ м}^2$.
Запись в виде двойного неравенства: $65,2 - 0,05 \le S \le 65,2 + 0,05$, что дает $65,15 \text{ м}^2 \le S \le 65,25 \text{ м}^2$.
Ответ: $S = (65,2 \pm 0,05) \text{ м}^2$; $65,15 \text{ м}^2 \le S \le 65,25 \text{ м}^2$.

е) Дано значение $\rho \approx 10,50 \text{ г/см}^3$. Ноль в конце является значащей цифрой. Последний значащий разряд — сотые. Точность $h = 0,01 / 2 = 0,005 \text{ г/см}^3$.
Запись в форме $a \pm h$: $\rho = (10,50 \pm 0,005) \text{ г/см}^3$.
Запись в виде двойного неравенства: $10,50 - 0,005 \le \rho \le 10,50 + 0,005$, что дает $10,495 \text{ г/см}^3 \le \rho \le 10,505 \text{ г/см}^3$.
Ответ: $\rho = (10,50 \pm 0,005) \text{ г/см}^3$; $10,495 \text{ г/см}^3 \le \rho \le 10,505 \text{ г/см}^3$.

ж) Дано значение $T \approx 99,975 \text{ °C}$. Последняя значащая цифра (5) находится в разряде тысячных. Точность $h = 0,001 / 2 = 0,0005 \text{ °C}$.
Запись в форме $a \pm h$: $T = (99,975 \pm 0,0005) \text{ °C}$.
Запись в виде двойного неравенства: $99,975 - 0,0005 \le T \le 99,975 + 0,0005$, что дает $99,9745 \text{ °C} \le T \le 99,9755 \text{ °C}$.
Ответ: $T = (99,975 \pm 0,0005) \text{ °C}$; $99,9745 \text{ °C} \le T \le 99,9755 \text{ °C}$.

з) Дано значение $I \approx 1,5$ А. Последняя значащая цифра (5) находится в разряде десятых. Точность $h = 0,1 / 2 = 0,05$ А.
Запись в форме $a \pm h$: $I = (1,5 \pm 0,05)$ А.
Запись в виде двойного неравенства: $1,5 - 0,05 \le I \le 1,5 + 0,05$, что дает $1,45 \text{ А} \le I \le 1,55 \text{ А}$.
Ответ: $I = (1,5 \pm 0,05)$ А; $1,45 \text{ А} \le I \le 1,55 \text{ А}$.

108 Определите, с какой точностью приведены в справочнике следующие данные:

a) площадь Мирового океана равна $366,1 \cdot 10^6 \text{ км}^2$;

б) площадь поверхности Земли равна $510,2 \text{ млн км}^2$;

в) территория Российской Федерации составляет $1,71 \cdot 10^7 \text{ км}^2$;

г) масса Меркурия равна $3,304 \cdot 10^{23} \text{ кг}$;

д) Расстояние от Марса до Солнца равно $228,0 \text{ млн км}$;

е) диаметр молекулы воды равен $2,8 \cdot 10^{-7} \text{ мм}$;

ж) масса электрона равна $0,91 \cdot 10^{-24} \text{ г}$.

Бассейн реки Волга
(снимок из Космоса)

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Точность, с которой приведено значение, определяется ценой деления последней значащей цифры числа. Для чисел, записанных в стандартном виде (как $a \cdot 10^n$), точность равна цене деления последней значащей цифры мантиссы ($a$), умноженной на порядок ($10^n$).

Площадь Мирового океана указана как $366,1 \cdot 10^6 \text{ км}^2$. Число $366,1$ записано с точностью до десятых. Это означает, что точность, с которой приведено данное значение, составляет $0,1$ от множителя $10^6 \text{ км}^2$. Таким образом, точность равна $0,1 \cdot 10^6 \text{ км}^2 = 100\,000 \text{ км}^2$.

Ответ: с точностью до $100\,000 \text{ км}^2$ (или $0,1 \cdot 10^6 \text{ км}^2$).

Площадь поверхности Земли равна $510,2 \text{ млн км}^2$. Число $510,2$ записано с точностью до десятых. Единица измерения — миллион квадратных километров ($10^6 \text{ км}^2$). Следовательно, точность составляет $0,1 \text{ млн км}^2$, что равно $0,1 \cdot 10^6 \text{ км}^2 = 100\,000 \text{ км}^2$.

Ответ: с точностью до $0,1 \text{ млн км}^2$ (или $100\,000 \text{ км}^2$).

Территория Российской Федерации составляет $1,71 \cdot 10^7 \text{ км}^2$. Мантисса числа $1,71$ записана с точностью до сотых. Это означает, что точность составляет $0,01$ от множителя $10^7 \text{ км}^2$. Таким образом, точность равна $0,01 \cdot 10^7 \text{ км}^2 = 10^5 \text{ км}^2 = 100\,000 \text{ км}^2$.

Ответ: с точностью до $100\,000 \text{ км}^2$ (или $0,01 \cdot 10^7 \text{ км}^2$).

Масса Меркурия равна $3,304 \cdot 10^{23} \text{ кг}$. Мантисса числа $3,304$ записана с точностью до тысячных. Это означает, что точность составляет $0,001$ от множителя $10^{23} \text{ кг}$. Таким образом, точность равна $0,001 \cdot 10^{23} \text{ кг} = 10^{20} \text{ кг}$.

Ответ: с точностью до $10^{20} \text{ кг}$ (или $0,001 \cdot 10^{23} \text{ кг}$).

Расстояние от Марса до Солнца равно $228,0 \text{ млн км}$. Число $228,0$ записано с точностью до десятых, так как ноль в конце числа после запятой является значащей цифрой. Единица измерения — миллион километров ($10^6 \text{ км}$). Следовательно, точность составляет $0,1 \text{ млн км}$, что равно $0,1 \cdot 10^6 \text{ км} = 100\,000 \text{ км}$.

Ответ: с точностью до $0,1 \text{ млн км}$ (или $100\,000 \text{ км}$).

Диаметр молекулы воды равен $2,8 \cdot 10^{-7} \text{ мм}$. Мантисса числа $2,8$ записана с точностью до десятых. Это означает, что точность составляет $0,1$ от множителя $10^{-7} \text{ мм}$. Таким образом, точность равна $0,1 \cdot 10^{-7} \text{ мм} = 10^{-8} \text{ мм}$.

Ответ: с точностью до $10^{-8} \text{ мм}$ (или $0,1 \cdot 10^{-7} \text{ мм}$).

Масса электрона равна $0,91 \cdot 10^{-24} \text{ г}$. Число $0,91$ записано с точностью до сотых. Это означает, что точность составляет $0,01$ от множителя $10^{-24} \text{ г}$. Таким образом, точность равна $0,01 \cdot 10^{-24} \text{ г} = 10^{-26} \text{ г}$.

Ответ: с точностью до $10^{-26} \text{ г}$ (или $0,01 \cdot 10^{-24} \text{ г}$).

109 а) Используя данные таблицы масс планет Солнечной системы, определите, какова точность (погрешность) и относительная погрешность приведённого значения массы Юпитера.

Совет. При вычислениях используйте калькулятор.

б) Выберите из этой таблицы самостоятельно какую-нибудь планету и решите такую же задачу, как в пункте «а».

Используя данные из таблицы, найдем массу Юпитера: $m_Ю = 1,900 \cdot 10^{27}$ кг. В русской научной и технической литературе запятая используется в качестве десятичного разделителя. Следовательно, значение массы следует понимать как $1.900 \cdot 10^{27}$ кг.

Мантисса числа $1.900$ записана с четырьмя значащими цифрами, с точностью до тысячных долей. Это означает, что последняя значащая цифра (последний ноль) находится в разряде тысячных. Цена этого разряда составляет $0.001$. Точность, или абсолютная погрешность, приближенного значения равна половине цены единицы последнего разряда, умноженной на степенную часть числа: $\Delta m_Ю = 0.5 \cdot (0.001 \cdot 10^{27}) = 0.0005 \cdot 10^{27} = 5 \cdot 10^{23}$ кг.

Относительная погрешность вычисляется как отношение абсолютной погрешности к самому значению массы: $\epsilon = \frac{\Delta m_Ю}{m_Ю} = \frac{5 \cdot 10^{23} \text{ кг}}{1.900 \cdot 10^{27} \text{ кг}} = \frac{5}{1.9} \cdot 10^{-4}$.

Выполним вычисления: $\epsilon = \frac{50}{19} \cdot 10^{-4} \approx 2.63157... \cdot 10^{-4} \approx 0.000263157...$ Округлим результат до трех значащих цифр: $\epsilon \approx 0.000263$. Для выражения относительной погрешности в процентах, умножим полученное значение на 100%: $\epsilon_{\%} \approx 0.000263 \cdot 100\% = 0.0263\%$.

Ответ: Точность (абсолютная погрешность) массы Юпитера составляет $5 \cdot 10^{23}$ кг, а относительная погрешность приблизительно равна $0.000263$ или $0.0263\%$.

Выберем для решения этой задачи планету Марс. Согласно таблице, ее масса составляет $m_М = 6,423 \cdot 10^{23}$ кг, что следует читать как $6.423 \cdot 10^{23}$ кг.

Число $6.423$ записано с точностью до тысячных долей. Цена последнего разряда равна $0.001$. Абсолютная погрешность массы Марса равна: $\Delta m_М = 0.5 \cdot (0.001 \cdot 10^{23}) = 0.0005 \cdot 10^{23} = 5 \cdot 10^{19}$ кг.

Теперь найдем относительную погрешность: $\epsilon = \frac{\Delta m_М}{m_М} = \frac{5 \cdot 10^{19} \text{ кг}}{6.423 \cdot 10^{23} \text{ кг}} = \frac{5}{6.423} \cdot 10^{-4}$.

Выполним вычисления: $\epsilon \approx 0.77845... \cdot 10^{-4} \approx 0.000077845...$ Округлим результат до трех значащих цифр: $\epsilon \approx 0.0000778$. Выразим в процентах: $\epsilon_{\%} \approx 0.0000778 \cdot 100\% = 0.00778\%$.

Ответ: Для Марса точность (абсолютная погрешность) массы составляет $5 \cdot 10^{19}$ кг, а относительная погрешность приблизительно равна $0.0000778$ или $0.00778\%$.

110 При измерении толщины одной и той же металлической детали штангенциркулем и микрометром полученные результаты были записаны соответственно в виде: $l \approx 2,5$ мм, $l \approx 2,48$ мм. В каком случае точность измерения выше? Найдите для каждого результата погрешность и относительную погрешность измерения.

Чтобы определить, какое из измерений точнее, и найти погрешности, необходимо для каждого случая рассчитать абсолютную и относительную погрешности. Точность измерения тем выше, чем меньше значение погрешности. По правилам, абсолютная погрешность прямого измерения принимается равной половине цены деления шкалы измерительного прибора.

Для измерения штангенциркулем

Результат измерения $l_1 \approx 2,5$ мм. Запись результата с одной значащей цифрой после запятой указывает на то, что цена деления прибора составляет $0,1$ мм.
Абсолютная погрешность ($\Delta l_1$) равна половине цены деления:
$\Delta l_1 = \frac{0,1 \text{ мм}}{2} = 0,05$ мм.
Относительная погрешность ($\epsilon_1$) — это отношение абсолютной погрешности к измеренному значению:
$\epsilon_1 = \frac{\Delta l_1}{l_1} = \frac{0,05 \text{ мм}}{2,5 \text{ мм}} = 0,02$.
В процентах это составляет $0,02 \cdot 100\% = 2\%$.
Ответ: погрешность составляет $0,05$ мм, относительная погрешность — $2\%$.

Для измерения микрометром

Результат измерения $l_2 \approx 2,48$ мм. Запись результата с двумя значащими цифрами после запятой указывает на то, что цена деления прибора составляет $0,01$ мм.
Абсолютная погрешность ($\Delta l_2$) равна:
$\Delta l_2 = \frac{0,01 \text{ мм}}{2} = 0,005$ мм.
Относительная погрешность ($\epsilon_2$) равна:
$\epsilon_2 = \frac{\Delta l_2}{l_2} = \frac{0,005 \text{ мм}}{2,48 \text{ мм}} \approx 0,002016$.
В процентах это составляет приблизительно $0,002016 \cdot 100\% \approx 0,2\%$.
Ответ: погрешность составляет $0,005$ мм, относительная погрешность — приблизительно $0,2\%$.

В каком случае точность измерения выше?

Точность измерения выше в том случае, где меньше относительная погрешность. Сравним полученные значения:
Относительная погрешность штангенциркуля: $\epsilon_1 = 2\%$.
Относительная погрешность микрометра: $\epsilon_2 \approx 0,2\%$.
Поскольку $0,2\% < 2\%$, измерение, выполненное с помощью микрометра, является более точным. К этому же выводу приводит и сравнение абсолютных погрешностей ($0,005$ мм $< 0,05$ мм).
Ответ: точность измерения выше при использовании микрометра.

111 На токарном станке вытачивают круглые пластины диаметром $l = 5 \pm 0,1$ см. В результате применения новых технологий относительную погрешность, допускаемую при изготовлении детали, удалось уменьшить на 1 %. В каком промежутке теперь заключается точное значение диаметра детали?

1. Определение начальной относительной погрешности
Исходные данные для диаметра пластины: $l = 5 \pm 0,1$ см.
Это означает, что номинальное значение диаметра $l_0 = 5$ см, а абсолютная погрешность (допуск) $\Delta l = 0,1$ см.
Относительная погрешность $\delta$ вычисляется как отношение абсолютной погрешности к номинальному значению:
$\delta_{начальная} = \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{0,1}{5} = 0,02$
В процентах начальная относительная погрешность составляет:
$0,02 \times 100\% = 2\%$

2. Расчет новой относительной погрешности
Согласно условию, относительную погрешность уменьшили на 1%. Это означает, что из начального значения в 2% вычли 1%:
$\delta_{новая} = 2\% - 1\% = 1\%$
Для дальнейших расчетов переведем это значение в десятичную дробь:
$\delta_{новая} = \frac{1}{100} = 0,01$

3. Расчет новой абсолютной погрешности
Новая абсолютная погрешность $\Delta l_{новая}$ находится путем умножения новой относительной погрешности на номинальное значение диаметра (которое не изменилось):
$\Delta l_{новая} = \delta_{новая} \times l_0 = 0,01 \times 5 \text{ см} = 0,05 \text{ см}$

4. Определение нового промежутка для диаметра детали
С новой абсолютной погрешностью диаметр детали можно записать как $l = 5 \pm 0,05$ см.
Следовательно, точное значение диаметра теперь находится в промежутке, границы которого определяются следующим образом:
Нижняя граница: $l_{min} = l_0 - \Delta l_{новая} = 5 - 0,05 = 4,95$ см.
Верхняя граница: $l_{max} = l_0 + \Delta l_{новая} = 5 + 0,05 = 5,05$ см.
Таким образом, новый промежуток для точного значения диаметра детали: $[4,95; 5,05]$ см.

Ответ: точное значение диаметра детали заключается в промежутке $[4,95; 5,05]$ см.