Страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

7 Оцените площадь и периметр участка земли прямоугольной формы со сторонами $a$ м и $b$ м, если $10 < a < 11$, $7 < b < 8$.

Оценка площади

Площадь прямоугольного участка $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его сторон в метрах.

По условию задачи даны следующие оценки для сторон:
$10 < a < 11$
$7 < b < 8$

Поскольку длины сторон $a$ и $b$ являются положительными величинами, мы можем почленно перемножить эти неравенства, чтобы получить оценку для площади:
$10 \cdot 7 < a \cdot b < 11 \cdot 8$
$70 < S < 88$

Следовательно, площадь участка земли больше 70 м² и меньше 88 м².

Ответ: $70 < S < 88$ (м²).

Оценка периметра

Периметр прямоугольного участка $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Сначала оценим сумму сторон $(a + b)$. Для этого сложим почленно известные неравенства:
$10 + 7 < a + b < 11 + 8$
$17 < a + b < 19$

Теперь, чтобы оценить периметр $P$, умножим все части полученного неравенства на 2:
$2 \cdot 17 < 2(a + b) < 2 \cdot 19$
$34 < P < 38$

Следовательно, периметр участка земли больше 34 м и меньше 38 м.

Ответ: $34 < P < 38$ (м).

8 Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:

а) $1 - 5x > -4;$

б) $4 - 3x \le x + 16;$

в) $2x - 5(x - 3) < 16 - 6x;$

г) $\frac{1 - x}{7} + \frac{2 - x}{3} \ge 1.$

а) $1 - 5x > -4$

Перенесем 1 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-5x > -4 - 1$

$-5x > -5$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-5}{-5}$

$x < 1$

Множество решений в виде интервала: $(-\infty; 1)$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка 1 "выколота", так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

б) $4 - 3x \le x + 16$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$-3x - x \le 16 - 4$

$-4x \le 12$

Разделим обе части неравенства на -4, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge \frac{12}{-4}$

$x \ge -3$

Множество решений в виде интервала: $[-3; +\infty)$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка -3 "закрашена", так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

в) $2x - 5(x - 3) < 16 - 6x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$2x - 5x + 15 < 16 - 6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x + 15 < 16 - 6x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-3x + 6x < 16 - 15$

$3x < 1$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{1}{3}$

Множество решений в виде интервала: $(-\infty; \frac{1}{3})$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка $\frac{1}{3}$ "выколота".

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$.

г) $\frac{1 - x}{7} + \frac{2 - x}{3} \ge 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен $НОК(7, 3) = 21$:

$21 \cdot \left(\frac{1 - x}{7} + \frac{2 - x}{3}\right) \ge 21 \cdot 1$

$3(1 - x) + 7(2 - x) \ge 21$

Раскроем скобки:

$3 - 3x + 14 - 7x \ge 21$

Приведем подобные слагаемые:

$17 - 10x \ge 21$

Перенесем 17 в правую часть:

$-10x \ge 21 - 17$

$-10x \ge 4$

Разделим обе части на -10, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{4}{-10}$

$x \le -\frac{2}{5}$

Множество решений в виде интервала: $(-\infty; -\frac{2}{5}]$.

Изобразим множество решений на координатной прямой. Точка $-\frac{2}{5}$ "закрашена".

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{5}]$.

Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} 2x - 18 < 0, \\ 5x < 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 1 \ge 5x - 1, \\ 9x + 15 \ge 5 - x; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 7 - x > 0, \\ x + 2 < 3x - 16. \end{cases} $

а) Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.
1) Решим первое неравенство:
$2x - 18 < 0$
$2x < 18$
$x < \frac{18}{2}$
$x < 9$
2) Решим второе неравенство:
$5x < 1$
$x < \frac{1}{5}$
$x < 0.2$
3) Найдем пересечение полученных решений: $x < 9$ и $x < 0.2$. Оба неравенства выполняются при $x < 0.2$.
Решением системы является интервал $(-\infty; 0.2)$.
Ответ: $(-\infty; 0.2)$.

б) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) Решим первое неравенство:
$x - 1 \geq 5x - 1$
$x - 5x \geq -1 + 1$
$-4x \geq 0$
При делении обеих частей на отрицательное число (-4), знак неравенства меняется на противоположный:
$x \leq 0$
2) Решим второе неравенство:
$9x + 15 \geq 5 - x$
$9x + x \geq 5 - 15$
$10x \geq -10$
$x \geq -1$
3) Найдем пересечение решений: $x \leq 0$ и $x \geq -1$. Это означает, что $x$ находится в промежутке от -1 до 0, включая концы.
Решением системы является отрезок $[-1; 0]$.
Ответ: $[-1; 0]$.

в) Решим каждое неравенство системы по отдельности.
1) Решим первое неравенство:
$7 - x > 0$
$-x > -7$
При умножении обеих частей на -1, знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 7$
2) Решим второе неравенство:
$x + 2 < 3x - 16$
$x - 3x < -16 - 2$
$-2x < -18$
При делении обеих частей на -2, знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 9$
3) Найдем пересечение решений: $x < 7$ и $x > 9$. Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше 7 и больше 9. Следовательно, пересечение множеств решений пустое.
Ответ: решений нет.

10 Найдите множество решений двойного неравенства: $2 < 5x - 3 < 7$.

«Больше» и «меньше» с алгебраической точки зрения:

• $a > b$ в том и только том случае, когда разность $a - b$ положительна;
• $a < b$ в том и только том случае, когда разность $a - b$ отрицательна.

Докажем, что при любых $a$ и $b$ верно неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Рассмотрим разность левой и правой частей: $a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Чтобы найти множество решений двойного неравенства $2 < 5x - 3 < 7$, мы должны изолировать переменную $x$ в средней части. Для этого мы будем применять одни и те же операции ко всем трем частям неравенства.

Сначала прибавим 3 ко всем частям, чтобы избавиться от $-3$ в середине:

$2 + 3 < 5x - 3 + 3 < 7 + 3$

Это дает нам:

$5 < 5x < 10$

Далее, разделим все три части на 5, чтобы найти $x$. Поскольку 5 — положительное число, знаки неравенства остаются прежними:

$\frac{5}{5} < \frac{5x}{5} < \frac{10}{5}$

В результате получаем:

$1 < x < 2$

Это означает, что множество решений состоит из всех чисел, находящихся в интервале от 1 до 2, не включая сами числа 1 и 2.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

11 Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство $x(x + y) \ge y(x - y)$.

Для доказательства верности неравенства для любых чисел $x$ и $y$ выполним равносильные преобразования.

Рассмотрим исходное неравенство:

$x(x + y) \ge y(x - y)$

Раскроем скобки в левой и правой частях:

$x \cdot x + x \cdot y \ge y \cdot x - y \cdot y$

$x^2 + xy \ge yx - y^2$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположными знаками:

$x^2 + xy - yx + y^2 \ge 0$

Поскольку умножение коммутативно ($xy = yx$), то слагаемые $xy$ и $-yx$ взаимно уничтожаются:

$x^2 + y^2 \ge 0$

Мы получили неравенство $x^2 + y^2 \ge 0$. Это неравенство является верным для любых действительных чисел $x$ и $y$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна.

Так как все преобразования были равносильными (не меняли знак неравенства и не сужали область определения), то и исходное неравенство $x(x + y) \ge y(x - y)$ верно для любых чисел $x$ и $y$.

Ответ: Доказано.

12 Докажите, что для положительных чисел a и b верно неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Для доказательства неравенства $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ для положительных чисел $a$ и $b$ выполним следующие равносильные преобразования.

Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также положительно. Общий знаменатель равен $ab$:
$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{2 \cdot ab}{ab} \ge 0$
$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \ge 0$

Выражение в числителе дроби является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Подставим это в неравенство:
$\frac{(a - b)^2}{ab} \ge 0$

Проанализируем полученное выражение:
1. Числитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - b)^2 \ge 0$.
2. Знаменатель $ab$ является произведением двух положительных чисел, поэтому он строго положителен, то есть $ab > 0$.
Частное от деления неотрицательного числа на положительное всегда является неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{(a - b)^2}{ab} \ge 0$ верно для любых положительных $a$ и $b$.

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ также является верным.
Заметим, что равенство достигается в том случае, когда числитель равен нулю, то есть $(a - b)^2 = 0$, что выполняется при $a = b$.
Ответ: Неравенство доказано.

13. Масса молока в пакете равна 500 г с точностью до 10 г. Запишите эту информацию с помощью знака «±» и с помощью двойного неравенства.

Используя знак «±»:

$M = 500 \pm 10$ г

Используя двойное неравенство:

$490 \le M \le 510$ г

с помощью знака «±»

По условию, масса молока равна 500 г с точностью до 10 г. Это означает, что приближенное значение массы $a = 500$ г, а абсолютная погрешность (точность) $h = 10$ г. Чтобы записать эту информацию с помощью знака «±», используется формула $a \pm h$.
Подставив значения, получаем: $500 \pm 10$ г.

Ответ: $500 \pm 10$ г.

с помощью двойного неравенства

Запись $a \pm h$ означает, что истинное значение массы, обозначим его $m$, находится в интервале от $a-h$ до $a+h$ включительно. Это выражается двойным неравенством $a - h \le m \le a + h$.
Найдем границы этого интервала:
Нижняя граница: $500 - 10 = 490$ г.
Верхняя граница: $500 + 10 = 510$ г.
Таким образом, двойное неравенство для массы молока $m$ имеет вид: $490 \le m \le 510$.

Ответ: $490 \le m \le 510$.

14 Плотность железа по данным таблицы плотности металлов равна $7,87 \text{ г/см}^3$. Какова погрешность приведённого значения плотности? Запишите это с помощью знака «$\pm$» и с помощью двойного неравенства.

В задаче дано значение плотности железа $ \rho = 7,87 \text{ г/см}^3 $. Чтобы определить погрешность этого значения, необходимо воспользоваться стандартным правилом для записи результатов измерений. Если абсолютная погрешность не указана явно, она считается равной половине единицы последнего значащего разряда.

В числе $ 7,87 $ последний значащий разряд — это разряд сотых. Цена этого разряда составляет $ 0,01 $. Следовательно, абсолютная погрешность $ \Delta\rho $ будет равна:

$ \Delta\rho = \frac{1}{2} \cdot 0,01 \text{ г/см}^3 = 0,005 \text{ г/см}^3 $

Теперь запишем значение плотности с учётом погрешности в двух требуемых формах.

Запись с помощью знака «±»

Результат измерения физической величины $ A $ записывается в виде $ A = a \pm \Delta a $, где $ a $ — измеренное значение, а $ \Delta a $ — абсолютная погрешность. В данном случае для плотности железа $ \rho $ получаем:

$ \rho = (7,87 \pm 0,005) \text{ г/см}^3 $

Ответ: $ \rho = (7,87 \pm 0,005) \text{ г/см}^3 $.

Запись с помощью двойного неравенства

Двойное неравенство показывает интервал, в котором находится истинное значение величины с учётом погрешности. Оно имеет вид $ a - \Delta a \le A \le a + \Delta a $. Для плотности железа рассчитаем границы этого интервала:

Нижняя граница: $ 7,87 - 0,005 = 7,865 \text{ г/см}^3 $.

Верхняя граница: $ 7,87 + 0,005 = 7,875 \text{ г/см}^3 $.

Таким образом, двойное неравенство будет иметь следующий вид:

$ 7,865 \text{ г/см}^3 \le \rho \le 7,875 \text{ г/см}^3 $

Ответ: $ 7,865 \text{ г/см}^3 \le \rho \le 7,875 \text{ г/см}^3 $.

15 Определите, какова относительная погрешность приведённого значения плотности железа.

Для определения относительной погрешности необходимо сравнить "приведённое" (то есть измеренное или полученное в ходе расчёта) значение плотности с общепринятым табличным значением. Относительная погрешность ($\epsilon$) показывает, какую долю от истинного значения составляет абсолютная погрешность, и обычно выражается в процентах.

Формула для расчёта относительной погрешности имеет вид:

$\epsilon = \frac{|\rho_{изм} - \rho_{табл}|}{\rho_{табл}} \cdot 100\%$

где $\rho_{изм}$ — это приведённое (измеренное) значение плотности, а $\rho_{табл}$ — это табличное (истинное) значение плотности.

Табличное значение плотности железа составляет $\rho_{табл} \approx 7800 \text{ кг/м}^3$.

Поскольку в условии задачи не дано конкретное "приведённое значение" плотности, мы не можем дать однозначный численный ответ. Однако мы можем привести подробный пример расчёта. Предположим, что в результате эксперимента было получено значение плотности $\rho_{изм} = 7600 \text{ кг/м}^3$.

1. Сначала рассчитаем абсолютную погрешность — это модуль разности между измеренным и табличным значениями:

$\Delta\rho = |\rho_{изм} - \rho_{табл}| = |7600 \text{ кг/м}^3 - 7800 \text{ кг/м}^3| = 200 \text{ кг/м}^3$.

2. Затем рассчитаем относительную погрешность, подставив найденные значения в формулу:

$\epsilon = \frac{\Delta\rho}{\rho_{табл}} \cdot 100\% = \frac{200 \text{ кг/м}^3}{7800 \text{ кг/м}^3} \cdot 100\% \approx 0.02564 \cdot 100\% \approx 2.56\%$.

Чтобы найти ответ для вашего случая, необходимо подставить ваше конкретное "приведённое значение" плотности железа ($\rho_{изм}$) в приведённую выше формулу.

Ответ: так как приведённое значение плотности железа в условии не указано, дать точный численный ответ невозможно. В качестве примера: если приведённое значение равно $7600 \text{ кг/м}^3$, то относительная погрешность составит примерно $2.56\%$.