Номер 10, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 1. Неравенства - номер 10, страница 44.

10 Найдите множество решений двойного неравенства: $2 < 5x - 3 < 7$.

«Больше» и «меньше» с алгебраической точки зрения:

• $a > b$ в том и только том случае, когда разность $a - b$ положительна;
• $a < b$ в том и только том случае, когда разность $a - b$ отрицательна.

Докажем, что при любых $a$ и $b$ верно неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Рассмотрим разность левой и правой частей: $a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Чтобы найти множество решений двойного неравенства $2 < 5x - 3 < 7$, мы должны изолировать переменную $x$ в средней части. Для этого мы будем применять одни и те же операции ко всем трем частям неравенства.

Сначала прибавим 3 ко всем частям, чтобы избавиться от $-3$ в середине:

$2 + 3 < 5x - 3 + 3 < 7 + 3$

Это дает нам:

$5 < 5x < 10$

Далее, разделим все три части на 5, чтобы найти $x$. Поскольку 5 — положительное число, знаки неравенства остаются прежними:

$\frac{5}{5} < \frac{5x}{5} < \frac{10}{5}$

В результате получаем:

$1 < x < 2$

Это означает, что множество решений состоит из всех чисел, находящихся в интервале от 1 до 2, не включая сами числа 1 и 2.

Ответ: $x \in (1, 2)$.