Номер 112, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

2.1 Квадратичная функция и её график. Глава 2. Квадратичная функция - номер 112, страница 50.

112 Для каждой параболы (рис. 2.2) укажите: направление ветвей, уравнение оси симметрии, координаты вершины. Покажите на графике точку его пересечения с осью y и симметричную ей точку. Запишите координаты отмеченных точек. Укажите на графике ещё одну пару симметричных точек и запишите их координаты.

Рис. 2.2

(1)

$y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

(2)

$y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

(3)

$y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$

(4)

$y = -2x^2 + 8x - 6$

Парабола 1 (фиолетовая)

Уравнение: $y = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{4}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Уравнение оси симметрии:

  Абсцисса вершины параболы и уравнение ее оси симметрии находятся по формуле $x = -\frac{b}{2a}$.

  $x = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.

  Уравнение оси симметрии: $x = -4$.

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = -4$. Подставим это значение в уравнение параболы, чтобы найти ординату $y_v$.

  $y_v = \frac{1}{4}(-4)^2 + 2(-4) + 4 = \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.

  Координаты вершины: $(-4, 0)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  Для нахождения точки пересечения с осью $y$, подставим $x = 0$ в уравнение параболы.

  $y = \frac{1}{4}(0)^2 + 2(0) + 4 = 4$.

  Точка пересечения с осью $y$: $(0, 4)$.

  Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату, а ее абсцисса будет симметрична $x=0$ относительно оси симметрии $x=-4$. Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - 0 = -8$.

  Координаты симметричной точки: $(-8, 4)$.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем произвольную точку на параболе, например, при $x = -2$.

  $y = \frac{1}{4}(-2)^2 + 2(-2) + 4 = \frac{1}{4}(4) - 4 + 4 = 1$.

  Точка на параболе: $(-2, 1)$.

  Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-4) - (-2) = -8 + 2 = -6$.

  Пара симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = -4$; координаты вершины $(-4, 0)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 4)$, а симметричная ей точка — $(-8, 4)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-2, 1)$ и $(-6, 1)$.

---

Парабола 2 (красная)

Уравнение: $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

• Уравнение оси симметрии:

  В данном уравнении $b=0$, поэтому ось симметрии $x = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.

  Уравнение оси симметрии: $x = 0$ (ось $y$).

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы:

  $y_v = \frac{1}{2}(0)^2 + 3 = 3$.

  Координаты вершины: $(0, 3)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  При $x = 0$, $y = 3$. Точка пересечения с осью $y$: $(0, 3)$.

  Так как эта точка является вершиной и лежит на оси симметрии, она симметрична самой себе.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем точку при $x = 2$.

  $y = \frac{1}{2}(2)^2 + 3 = \frac{1}{2}(4) + 3 = 2 + 3 = 5$.

  Точка на параболе: $(2, 5)$.

  Так как ось симметрии $x=0$, абсцисса симметричной точки будет $x_s = -2$.

  Пара симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вверх; уравнение оси симметрии $x = 0$; координаты вершины $(0, 3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, 3)$ и симметрична сама себе; пример еще одной пары симметричных точек: $(2, 5)$ и $(-2, 5)$.

---

Парабола 3 (оранжевая)

Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 15$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

• Уравнение оси симметрии:

  $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$.

  Уравнение оси симметрии: $x = -6$.

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = -6$.

  $y_v = -\frac{1}{3}(-6)^2 - 4(-6) - 15 = -\frac{1}{3}(36) + 24 - 15 = -12 + 24 - 15 = -3$.

  Координаты вершины: $(-6, -3)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  При $x = 0$, $y = -15$. Точка пересечения: $(0, -15)$.

  Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - 0 = -12$.

  Координаты симметричной точки: $(-12, -15)$.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем точку при $x = -3$.

  $y = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 4(-3) - 15 = -\frac{1}{3}(9) + 12 - 15 = -3 + 12 - 15 = -6$.

  Точка на параболе: $(-3, -6)$.

  Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot (-6) - (-3) = -12 + 3 = -9$.

  Пара симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = -6$; координаты вершины $(-6, -3)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -15)$, а симметричная ей точка — $(-12, -15)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(-3, -6)$ и $(-9, -6)$.

---

Парабола 4 (зеленая)

Уравнение: $y = -2x^2 + 8x - 6$

• Направление ветвей:

  Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

• Уравнение оси симметрии:

  $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

  Уравнение оси симметрии: $x = 2$.

• Координаты вершины:

  Абсцисса вершины $x_v = 2$.

  $y_v = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$.

  Координаты вершины: $(2, 2)$.

• Точка пересечения с осью y и симметричная ей точка:

  При $x = 0$, $y = -6$. Точка пересечения: $(0, -6)$.

  Абсцисса симметричной точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 0 = 4$.

  Координаты симметричной точки: $(4, -6)$.

• Еще одна пара симметричных точек:

  Возьмем точку, где парабола пересекает ось $x$. Например, при $x = 1$.

  $y = -2(1)^2 + 8(1) - 6 = -2 + 8 - 6 = 0$.

  Точка на параболе: $(1, 0)$.

  Абсцисса симметричной ей точки: $x_s = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

  Пара симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: Ветви параболы направлены вниз; уравнение оси симметрии $x = 2$; координаты вершины $(2, 2)$; точка пересечения с осью $y$ имеет координаты $(0, -6)$, а симметричная ей точка — $(4, -6)$; пример еще одной пары симметричных точек: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.