Номер 12, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Бунимович, Кузнецова

Подведём итоги. Глава 1. Неравенства - номер 12, страница 44.

12 Докажите, что для положительных чисел a и b верно неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Для доказательства неравенства $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ для положительных чисел $a$ и $b$ выполним следующие равносильные преобразования.

Перенесем 2 в левую часть неравенства:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также положительно. Общий знаменатель равен $ab$:
$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{2 \cdot ab}{ab} \ge 0$
$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \ge 0$

Выражение в числителе дроби является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Подставим это в неравенство:
$\frac{(a - b)^2}{ab} \ge 0$

Проанализируем полученное выражение:
1. Числитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - b)^2 \ge 0$.
2. Знаменатель $ab$ является произведением двух положительных чисел, поэтому он строго положителен, то есть $ab > 0$.
Частное от деления неотрицательного числа на положительное всегда является неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{(a - b)^2}{ab} \ge 0$ верно для любых положительных $a$ и $b$.

Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ также является верным.
Заметим, что равенство достигается в том случае, когда числитель равен нулю, то есть $(a - b)^2 = 0$, что выполняется при $a = b$.
Ответ: Неравенство доказано.